Ensino Superior ⇒ EDO - Equações Diferenciais Tópico resolvido

[wandsspider]

Equação de Bernoulli:

[tex3]y'(x^2y^3+xy)={1}[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

De y'( x²y³ + xy ) = 1 , obtemos x' - yx = y³x².

Perceba, que temos uma Equação de Bernoulli , do tipo

[tex3]\frac{dx}{dy}[/tex3] + P( y ).x = Q(y).xⁿ

Então,

v = x [tex3]^{1-n}[/tex3]

v = x [tex3]^{1-2}[/tex3]

v = x [tex3]^{ - 1}[/tex3]

v' = - 1.x [tex3]^{-2}[/tex3].x'

x' = - v'.x²

Obs. v = x [tex3]^{ - 1}[/tex3] → v = 1/x.

Substituindo, fica;

- v'.x² - y.x = y³.x² ÷ ( - x² )

v' + ( 1/x ).y = - y³

v' + y.v = - y³

Onde, P( y ) = y e Q( y ) = - y³.

Um fator de integração é:

μ( y ) = e [tex3]^{\int\limits_{}^{}P(y) \ dy}[/tex3]

μ( y ) = e [tex3]^{\int\limits_{}^{}y \ dy}[/tex3]

μ( y ) = e [tex3]^{\frac{ y^2}{ 2 } }[/tex3]


Assim,

[tex3]v(y) = \frac{1}{\mu (y)}.\left[ \int\limits_{}^{} \mu (y).Q(y) \ dy \right][/tex3]

[tex3]v(y) = e^{ - \frac{ y^2}{ 2 } }.\left[ -\int\limits_{}^{} e^{\frac{y^2}{2}}.y^3\ dy \right][/tex3]

Para resolver a integral acima faça a substituição u = y² → du = 2ydy → ydy = du/2. Obtemos então

[tex3]v(y) = e^{ - \frac{ y^2}{ 2 } }.\left[ e^{\frac{y^2}{2}} .( 2 - y^2 ) + C \right][/tex3]

v(y) = 2 - y² + Ce [tex3]^{ - \frac{ y^2}{ 2 } }[/tex3]

Ou

x [tex3]^{-1}[/tex3] = 2 - y² + C.e [tex3]^{ - \frac{ y^2}{ 2 } }[/tex3]

Ou

x = 1/( 2 - y² + C.e [tex3]^{ - \frac{ y^2}{ 2 } }[/tex3] )

Ou ainda,

[tex3]v = e^{ - \frac{ y^2}{ 2 } }.\left[ e^{\frac{y^2}{2}} .( 2 - y^2 ) + C \right][/tex3]

1/x = [tex3]\frac{1}{e^{ \frac{ y^2}{ 2 }} }.\left[ ( 2 - y^2 ) e^{\frac{y^2}{2}} + C \right][/tex3]

Logo,

[tex3]e^{ \frac{ y^2}{ 2 }} [/tex3] = x.[tex3]\left[ ( 2 - y^2 ).e^{\frac{y^2}{2}} + C \right][/tex3]


Como eu não sei como está o gabarito do seu livro, então deixarei assim mesmo, porém, tanto faz qualquer uma das formas acima estão corretas!

Excelente estudo!