Pré-Vestibular ⇒ (UEA SIS) Geometria Analítica Tópico resolvido

[ÁguiaB]

A distância entre 2 pontos, P e Q, é 3 cm. Projetando-se os pontos P e Q ortogonalmente sobre um plano α, obtemos os pontos P1 e Q1 , que estão distanciados 1 cm entre si. Projetando-se os pontos P e Q ortogonalmente sobre um plano β, obtemos os pontos P2 e Q2 , que estão distanciados 3 cm entre si.

A partir dessas informações, conclui-se que
A. a reta PQ está contida no plano β.
B. a reta PQ é secante ao plano α.
C. os planos α e β são paralelos.
D. a distância entre P1 e Q2 é 4 cm.
E. as retas P1 Q1 e P2 Q2 são reversas.

Resposta

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B

Alguém, por favor, saberia me explicar como eliminar a E e a D e como considerar a B? As demais eu consegui eliminar porque:
A. Não necessariamente. PQ poderia estar em qualquer plano paralelo a beta.
C. Impossível, pois, se fossem, a distância entre os pontos das projeções ortogonais seria a mesma, isto é, a distância entre P1Q1 seria a mesma de P2Q2.
Não eliminei a E porque retas reversas são retas não coplanares. Logo, eu considerei que, pelo motivo de a C estar errada, E também estaria, já que se provou que os planos são distintos. Porém, há algum erro nesse raciocínio. Ademais, gostaria de entender como analisar a B e D. Eu achei que a B estaria errada porque não necessariamente ela teria que ser secante ao plano alfa para a distância da projeção ortogonal dos pontos ser menor. Achei que, independemente da distância em relação à alfa, a distância da projeção ortoganl dos pontos seria a mesma.

[petrasMOD]

ÁguiaB,

Veja se a figura anexa pode ajudar.
r = r2 e r1 < r

Para a projeção ter valor menor que segmento a reta que o contem não pode estar paralela ao plano , ou seja, como estará inclinada em relaçao ao plano, ela cortará o plano em algum ponto.

[ÁguiaB]

E as letras D e E? Como eu as eliminou?

[petrasMOD]

ÁguiaB,

Veja que ele deu a distância entre PQ , P1Q1 e P2Q2.

P2Q2 podem estar em um plano q qualquer distância do plano de P1Q1

Pode existir um plano [tex3]\beta [/tex3] perpendicular a [tex3]\alpha [/tex3] que contemha P1Q1, PQ e P2Q2. portanto as retas não seriam reversas

[petrasMOD]

ÁguiaB,

O plano [tex3]\beta [/tex3] estava desenhado errado. Não estou visualizando um plano que con P1Q1 e P2Q2 com as condições dadas. Portanto creio que são reversas e o gabarito estaria errado.