Pré-Vestibular ⇒ (UnB - PAS - 2010) Sistema de Coordenadas Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Caminhando em linha reta ao longo de uma praia, um banhista vai de um ponto [tex3]A[/tex3] até um ponto [tex3]B[/tex3], percorrendo a distância [tex3]AB = 2.500\ m[/tex3]. Em [tex3]A[/tex3], ele avista um navio parado em [tex3]N[/tex3] e verifica que o ângulo [tex3]NAB[/tex3] é igual a [tex3]60^\circ[/tex3]; em [tex3]B[/tex3], ele verifica que o ângulo [tex3]NBA[/tex3] é igual a [tex3]45^\circ[/tex3].

Considerando a representação dessa situação em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais [tex3]xOy[/tex3], em que o segmento [tex3]AB[/tex3] esteja sobre o eixo [tex3]Ox[/tex3], [tex3]A[/tex3], à esquerda de [tex3]O[/tex3], [tex3]B[/tex3], à direita de [tex3]O[/tex3], e [tex3]N[/tex3], sobre o semieixo positivo [tex3]Oy[/tex3], assinale a opção correta.

(A) O segmento [tex3]AN[/tex3] está sobre a reta cuja equação, nesse sistema de coordenadas, pode ser expressa por
[tex3](1+\sqrt3)x-(\sqrt3+3)y-\sqrt3 \times 2.500=0[/tex3].

(B) Para a equação da circunferência que contém os ponto [tex3]O[/tex3], [tex3]B[/tex3] e [tex3]N[/tex3], quando expressa na forma [tex3]x^2 + y^2 + ax + by + c= 0[/tex3], em que [tex3]a[/tex3], [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] são constantes reais, as constantes [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] são necessariamente iguais.

(C) Identificando-se os pontos [tex3]A[/tex3], [tex3]B[/tex3] e [tex3]N[/tex3] como números complexos da forma [tex3]z = x + iy[/tex3], em que [tex3]i=\sqrt{-1}[/tex3] é a unidade imaginária, [tex3]x=Re(z)[/tex3] é a parte real de [tex3]z[/tex3] e [tex3]y=Im(z)[/tex3] é a parte imaginária de [tex3]z[/tex3], é correto afirmar que [tex3]A[/tex3], [tex3]B[/tex3] e [tex3]N[/tex3] são raízes de uma equação da forma [tex3]z^6=R[/tex3], para algum número real [tex3]R > 0[/tex3].

(D) Existe polinômio de coeficientes reais, de grau [tex3]3[/tex3], em que os números complexos [tex3]z_1[/tex3], [tex3]z_2[/tex3] e [tex3]z_3[/tex3], identificados com os pontos [tex3]A[/tex3], [tex3]B[/tex3] e [tex3]N[/tex3], respectivamente, são as raízes desse polinômio.

Resposta

---

B

[petrasMOD]

ALDRIN,

Seja "h" a distância de N até AB

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[tex3]A) N=(0,h)\\

tg 60^o =\frac{h}{AO} \implies AO = \frac{h\sqrt3}{3}\\
tg45^o =\frac{h}{BO} \implies BO = h\\
AO+BO = 2500 \implies \frac{h\sqrt3}{3}+h = 2500 \therefore \underline {h =1250(3-\sqrt3)}\\
AO = h =\frac{1250(3-\sqrt3).\sqrt3}{3} = 1250\sqrt3-1) \implies A =( 1250(1-\sqrt3),0)\\
r_{AN}: m_{AN}=tg 60^o = \sqrt3\\
r: y = \sqrt3x+b \\
A \in r: 0=(\sqrt3)(1250(1-\sqrt3)+b \implies b = 3750-1250\sqrt3=1250(3-\sqrt3)\\
\therefore \boxed{r_{AN}: y = \sqrt3x+1250(3-\sqrt3)}\\
B)raio = BC=CN=(\frac{1250(3-\sqrt3)}{2}, (\frac{1250(3-\sqrt3)}{2})\\
\triangle OCB_{(isosc-ret))} \implies CO = BC = r \\

(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2 \implies (x-x_C)^2+(y-x_C)^2=r^2 \\
x^2-2x.x_C+x_C^2+y^2-2yx_C+x_C^2=r^2\\
\boxed{x^2+y^2-\underbrace{\color{red}2x_C}_a.x-\underbrace{\color{red}2x_C}_b.y +\underbrace{2x_C^2-r^2}_c=0}

[/tex3]