Pré-Vestibular ⇒ (UFMS-RS) Sistema Tópico resolvido

[Natan]

Os valores de [tex3]a\, e\, b\, \in\, \Re[/tex3] tais que o sistema

[tex3]\begin{cases} x-2y+z=1 \\ 3x-6y+2z-t=a \\ 4y-2x-z+t=3 \\ z+t=b\end{cases}[/tex3]

admita solução devem ser, respectivamente:

[tex3]a)\, -2\, e\, 8 \\ b)\, 8\, e\, 5 \\ c)\, 5\, e\, 8 \\ d)\, 5\, e\, -2 \\ e)\, -2\, e\, 5[/tex3]

[Rafa2604]

[tex3]\begin{cases}
x-2y+z=1 \\
3x-6y+2z-t=a \\
4y-2x-z+t=3 \\
z+t=b \;\;\; \rightarrow \;\;\; t = b-z
\end{cases}[/tex3]

Substituindo t nas outras equações encontramos:
[tex3]\begin{cases}
x-2y+z=1 \;\;\; \rightarrow \;\;\; z = 1-x+2y \\
3x-6y+2z-(b-z) = a \;\;\; \rightarrow \;\;\; 3x -6y +3z = a+b \\
4y-2x-z+b-z= 3 \;\;\; \rightarrow \;\;\; 4y-2x-2z=3-b
\end{cases}[/tex3]

Substituindo z nas outras equações obtemos:
[tex3]\begin{cases}
3x- 6y + 3(1-x+2y) = a+b \;\;\rightarrow \;\; 3x- 6y + 3 -3x +6y = a+b \;\;\rightarrow \;\; a+b=3 \\
4y-2x-2(1-x+2y) = 3-b \;\;\rightarrow \;\; 4y -2x -2 +2x -4y = 3-b \;\;\rightarrow \;\; -2 = 3 -b
\end{cases}[/tex3]
[tex3]-2 = 3-b \;\; \rightarrow \;\; b = 3+2 = 5[/tex3]
[tex3]a + b = 3 \;\; \rightarrow \;\; a = 3-b = 3-5 \;\; \rightarrow \;\; a=-2[/tex3]

Portanto, temos que a = -2 e b = 5.