Ensino Superior ⇒ Equações Paramétricas - Espaço Tópico resolvido

[raimundojr]

(Livro: Cálculo - Volume 2 - 7ª Edição - Q. 31 - Pág.: 767)

Determine as equações paramétricas da reta [tex3]r[/tex3] tangente à curva [tex3]d(t)=(t \cdot \cos t, t, t\cdot \sen t),\, t>0[/tex3] ou [tex3]t=0[/tex3], no ponto [tex3]P=(-\pi, \pi, 0)[/tex3]. Esboce em um mesmo sistema de coordenadas retangular tridimensional a trajetória da curva [tex3]d[/tex3], o ponto [tex3]P[/tex3] e a reta [tex3]r[/tex3].

Como faço isso?

[Cardoso1979]

Observe

Eba!!!!!!!!!!!!!!!! Mais uma questão com a FONTE, ops! Esqueceu só de falar que é do STEWART, de qualquer forma

Primeiro modo ( mais direta ):

Temos a curva

d( t ) = < t.cos(t) , t , t.sen(t) >

Então,

d'( t ) = < cos (t) - t.sen(t) , 1 , t.cos(t) + sen (t) >.

Em ( - π , π , 0 ) , t = π e d'( π ) = < - 1 , 1 , - π > . Assim, as equações paramétricas da reta tangente são :

x = - π - t , y = π + t , z = - πt.

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Segundo modo ( com explicação ) :

A equação vetorial da curva é :

d( t ) = ( t.cos(t) , t , t.sen(t) ).

No ponto P = ( - π , π , 0 ) o valor do parâmetro t é π , como pode ser deduzido da segunda equação paramétrica da curva :

y = t , y = π → t = π.

A derivada da função vetorial é dada por

d'( t ) = ( cos (t) - t.sen(t) , 1 , sen (t) + t.cos(t) )

Logo, o vetor tangente no ponto especificado, ou seja , para t = π, é:

d'( t ) = ( cos (π) - π.sen(π) , 1 , sen(π) + π.cos(π) )

d'(:t ) = ( - 1 , 1 , - π )

A reta tangente , cujas equações paramétricas procuramos, passa pelo ponto ( - π , π , 0 ) e é paralela ao vetor tangente.

d'( π ) = ( - 1 , 1 , - π )

Então, as equações paramétricas podem ser calculadas assim:

x = - π - t , y = π + t , z = 0 - πt

Ou seja,

x = - π - t , y = π + t , z = - πt.

Com base nas equações paramétricas da curva e da reta é possível traçar os gráficos de ambas numa mesma tela utilizando softwares como mostrado abaixo :

Screenshot_20220816-181251-089~2.png (152.02 KiB) Exibido 369 vezes

Excelente estudo!