Ensino Superior ⇒ Calculo 2- Equação do plano tangente Tópico resolvido

[NoAnalise]

Gostaria de ajuda nesta questão estou tentando fazer, mas acho que não sei. Fiz uns rascunhos de contas, mas tá tão estranho que fiquei com vergonha

[AnthonyC]

Só uma coisa antes. A 1ª regra do fórum diz que não se deve postar o enunciado de questões em imagens.


a)
Sabemos que a equação do plano tangente de uma função é dada por:
[tex3]w-f(x_0,y_0,z_0)=(x-x_0){\partial f\over\partial x}(x_0,y_0,z_0)+(y-y_0){\partial f\over\partial y}(x_0,y_0,z_0)+(z-z_0){\partial f\over\partial z}(x_0,y_0,z_0)[/tex3]
No ponto [tex3](1,-1,1)[/tex3], temos:
[tex3]f(1,-1,1)=\sqrt{3(1)^2+4(-1)^2+2(1)^2}=3[/tex3]

[tex3]{\partial f\over\partial x}(x,y,z)={\partial \over\partial x}\(\sqrt{3x^2+4y^2+2z^2}\)[/tex3]
[tex3]{\partial f\over\partial x}(x,y,z)={1\over2\sqrt{3x^2+4y^2+2z^2}}\cdot6x[/tex3]
[tex3]{\partial f\over\partial x}(x,y,z)={3x\over\sqrt{3x^2+4y^2+2z^2}}[/tex3]
[tex3]{\partial f\over\partial x}(1,-1,1)={3\cdot1\over\sqrt{3(1)^2+4(-1)^2+2(1)^2}}[/tex3]
[tex3]{\partial f\over\partial x}(1,-1,1)=1[/tex3]

Analogamente:
[tex3]{\partial f\over\partial y}(x,y,z)={4y\over\sqrt{3x^2+4y^2+2z^2}}[/tex3]
[tex3]{\partial f\over\partial y}(1,-1,1)=-{4\over3}[/tex3]

[tex3]{\partial f\over\partial z}(x,y,z)={2z\over\sqrt{3x^2+4y^2+2z^2}}[/tex3]
[tex3]{\partial f\over\partial z}(1,-1,1)={2\over3}[/tex3]

Portanto:
[tex3]w-f(x_0,y_0,z_0)=(x-x_0){\partial f\over\partial x}(x_0,y_0,z_0)+(y-y_0){\partial f\over\partial y}(x_0,y_0,z_0)+(z-z_0){\partial f\over\partial z}(x_0,y_0,z_0)[/tex3]
[tex3]w-3=(x-1)-{4\over3}(y+1)+{2\over3}(z-1)[/tex3]
O vetor normal é dado pelos coeficientes de [tex3]x,y,z[/tex3] e [tex3]w[/tex3]:
[tex3]\vec{n}=\(1,-{4\over3},{2\over3},-1\)[/tex3]


b)
Podemos encontrar uma aproximação de [tex3]f[/tex3] utilizando o plano:
[tex3]f(x,y,z)\approx w=3+(x-1)-{4\over3}(y+1)+{2\over3}(z-1)[/tex3]
No ponto [tex3]([1,01],[-0,96],[1,05])[/tex3]:
[tex3]f([1,01],[-0,96],[1,05])\approx 3+(1,01-1)-{4\over3}(-0,96+1)+{2\over3}(1,05-1)[/tex3]
[tex3]f([1,01],[-0,96],[1,05])\approx 3+0,01-{4\over3}(0,04)+{2\over3}(0,05)[/tex3]
[tex3]f([1,01],[-0,96],[1,05])\approx {9+0,03-0,16+0,1\over3}[/tex3]
[tex3]f([1,01],[-0,96],[1,05])\approx 2,99[/tex3]

Obs: o gabarito está errado. Repare que o segundo termo no numerador da fração deveria ser 0,03 e não 0,01

[NoAnalise]

Muito obrigado pela resolução. Deu pra entender bastante coisa. Fiquei um pouco confuso com as derivadas parciais, porque está tudo em relação a X, mas deu pra entender. Eu não escrevi em texto, porque não sei escrever latex

[AnthonyC]

Muito obrigado pela resolução. Deu pra entender bastante coisa. Fiquei um pouco confuso com as derivadas parciais, porque está tudo em relação a X, mas deu pra entender. Eu não escrevi em texto, porque não sei escrever latex

Já corrigi ali.

Eu não escrevi em texto, porque não sei escrever latex

Quando você cria um novo tópico, aparece uma caixa ao lado escrito "Referência Rápida". Clica em uma das equações nela e ele coloca automaticamente no texto. A partir aí é aprender a usar cada código.

[NoAnalise]

A derivação de W para achar o coeficiente angular deve ser feita por derivação implícita ?

[AnthonyC]

Não precisa. Basta passar todas as variáveis para o mesmo lado da equação:
[tex3]w- 3=+(x-1)-{4\over3}(y+1)+{2\over3}(z-1)[/tex3]
[tex3]- 3=+(x-1)-{4\over3}(y+1)+{2\over3}(z-1)-w[/tex3]
Os coeficientes da equação acima são as coordenadas do vetor normal.