Pré-Vestibular ⇒ (UPF - 2019) Progressão Aritmética Tópico resolvido

[gab1234]

De uma progressão aritmética [tex3]a_n[/tex3] de razão [tex3]r[/tex3], sabe-se que [tex3]a_8=16[/tex3] e [tex3]a_{14}=4[/tex3]. Seja [tex3]S_n[/tex3] a soma dos [tex3]n[/tex3] primeiros termos de [tex3]a_n[/tex3], o menor valor de [tex3]n[/tex3], de modo que [tex3]S_n=220[/tex3], é

a) [tex3]12[/tex3]
b) [tex3]11[/tex3]
c) [tex3]14[/tex3]
d) [tex3]16[/tex3]
e) [tex3]18[/tex3]​

Resposta

---

b

[Auto Excluído (ID: 29066)]

Sabendo que a nossa PA pode ser representada da seguinte maneira [tex3](a_{1},..., a_{8}, a_{9}, a_{10}, a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{14},...,a_{n})[/tex3], percebe-se, pela propriedade da PA finita, que a média aritmética dos termos equidistantes é igual ao termo central, isto é, [tex3]\frac{a_{8} + a_{14}}{2}=a_{11}[/tex3].

Efetuando a operação acima, encontra-se que [tex3]a_{1}=10-10r[/tex3]. Em seguida, substituindo essa relação em [tex3]a_{8}[/tex3] ou [tex3]a_{14}[/tex3], conclui-se que [tex3]r=-2[/tex3]. Agora, jogando a razão na primeira relação encontrada, tem-se que [tex3]a_{1}=30[/tex3]

Por fim, é só jogar os dados na seguinte fórmula [tex3]S_{n}=\frac{(a_{1}+a_{n})}{2}[/tex3]:

[tex3]S_{n}=\frac{[30+30+(n-1)(-2)]n}{2}[/tex3]
[tex3]S_{n}=\frac{(60-2n+2)n}{2}[/tex3]
[tex3]S_{n}=\frac{62n-2n²}{2}[/tex3]
[tex3]220=\frac{62n-2n²}{2}[/tex3]
[tex3]440=62n-2n²[/tex3]
[tex3]2n²-62n+440=0[/tex3]
[tex3]n²-31n+220=0[/tex3]
[tex3]n=20[/tex3] e [tex3]n=11[/tex3]

Portanto, o menor valor de [tex3]n[/tex3] só pode ser [tex3]11[/tex3].