Ensino Superior ⇒ Equações Diferenciais - Equações de Clairaut Tópico resolvido

[rodrigosantos]

Uma definição alternativa para a equação de Clairaut é qualquer equação na forma [tex3]\ F\(y-x\frac{dy}{dx},\frac{dy}{dx}\)=0[/tex3]. Mostre que uma família de soluções para a última equação é [tex3]\ F(y-cx,c)=0[/tex3], onde [tex3]\ c[/tex3] é uma constante arbitrária.

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

Para mostrarmos o que o autor está pedindo, vamos considerar que F = F( r , t ). Além disso, sabemos que:

F( y - cx , c ) = 0

Utilizando a regra da cadeia para derivar essa função, teremos:

[tex3]\frac{dF}{dr}[/tex3]( y - cx , c ).( y' - c ) = 0.

Assumindo que [tex3]\frac{dF}{dr}[/tex3] ≠ 0 , tiramos que

y' = c.

Sendo assim, temos que:

F( y - xy' , c ) = F( y - cx , c ) = 0 ,

que é a família de equações que queríamos! C.q.m.

Obs. F( y - xy' , c ) = F( y - cx , c ) = 0 , equivale a

F( y - x[tex3]\frac{dy}{dx} , c )[/tex3] = F( y - cx , c ) = 0.

y' = [tex3]\frac{dy}{dx}[/tex3] = c.

E também,

[tex3]\ F\left(y-x\frac{dy}{dx},\frac{dy}{dx}\right)=0[/tex3] equivale à F( y - xy' , y' ) = 0.




Excelente estudo!