Ensino Superior ⇒ Corpos Rígidos Tópico resolvido

[monicarneiro]

Calcule o momento de inércia de uma lâmina homogênea de massa M em forma de anel circular, de raio interno r1 e raio externo r2.

(a) Em relação a um eixo perpendicular ao plano do anel, passando pelo seu centro e (b) Em relação ao diâmetro do anel.

Resposta

---

(a) [tex3]\frac{1}{2}M\(r_1^{2}+r_2^{2}\)[/tex3]

(b) [tex3]\frac{1}{2}M\(r_1^{2}+r_2^{2}\)[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Calcule o momento de inércia de uma lâmina homogênea de massa M em forma de
anel circular, de raio interno r1 e raio externo r2.

(a) Em relação a um eixo perpendicular ao plano do anel, passando pelo seu centro.


Resposta:
(a) [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] M([tex3]r1^{2} + r2^{2}[/tex3])

Uma solução:

Considerando um anel uniforme, podemos usar uma densidade superficial, veja;

dm = σ dA

download.jpeg (5.61 KiB) Exibido 516 vezes

σ = M/A

σ = [tex3]\frac{M}{π.r^2_2 \ - \ π.r^2_1}[/tex3]

O termo dA será dado por :

dA = d( π.r² ) = 2πr dr

Com relação ao eixo passando pelo centro, temos:

I = [tex3]\int\limits_{r_1}^{r_2} r^2 \ dm[/tex3]

Onde, r é a distância do centro a um ponto.

Logo,

I = = [tex3]\int\limits_{r_1}^{r_2} r^2. \frac{ M }{π.r^2_2 - π.r^2_1}. 2πr \ dr[/tex3]

I = [tex3]\frac{ 2M }{ r^2_2 -r^2_1}\int\limits_{r_1}^{r_2} r^3 \ dr[/tex3]

I = = [tex3]\frac{ 2M }{ r^2_2 -r^2_1}.\left[\frac{ r^4 }{ 4 }\right]_{r_1}^{r_2} [/tex3]

I = [tex3]\frac{ 2M }{ r^2_2 -r^2_1}.\frac{ ( r^4_2 - r^4_1 ) }{ 4 }[/tex3]

I = [tex3]\frac{ \cancel{2}.M }{ \cancel{ r^2_2 -r^2_1}}.\frac{ \cancel{ ( r^2_2 - r^2_1 )}.( r^2_2 + r^2_1 ) }{ \cancel{2}.2 }[/tex3]

Portanto,

I = [tex3]\frac{ M.( r^2_2 + r^2_1 ) }{ 2 }[/tex3]


Excelente estudo!