Olimpíadas ⇒ Canguru 2009

[Fisica12]

Um canguru está na origem do sistema cartesiano ortogonal. Ele pode saltar uma unidade verticalmente ou horizontalmente. Quantos pontos distintos do plano o canguru pode atingir após 10 saltos?

Resposta

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121

[triplebig]

Dividindo o plano cartesiano em ponto de coordenadas [tex3]P(a,b)[/tex3] , tal que [tex3]a\text{ e }b[/tex3] são números inteiros. Temos os seguintes casos:

[tex3]|a|+|b|=10\;\Right\;\text{ 40 possibilidades}[/tex3]

[tex3]|a|+|b|=8\;\Right\;\text{ 32 possibilidades}[/tex3]

[tex3]|a|+|b|=6\;\Right\;\text{ 24 possibilidades}[/tex3]

[tex3]|a|+|b|=4\;\Right\;\text{ 16 possibilidades}[/tex3]

[tex3]|a|+|b|=2\;\Right\;\text{ 8 possibilidades}[/tex3]

[tex3]|a|+|b|=0\;\Right\;\text{ 1 possibilidade}[/tex3]

Soma total: [tex3]121[/tex3] possibilidades.

[Fisica12]

Me desculpe mas não entendi, eu imagino [tex3]|a| + |b|= 2[/tex3] sendo [tex3]P(2,0) e P(1,1)[/tex3] sendo 4 quadrantes dá 8 possibilidades, mas e os números ímpares ?

[triplebig]

E se ele for em linha reta? Os pontos possíveis sem voltar são: [tex3](10;0),(9;1),(8;2),....(0:10),(-1;9),(-2;8).....(-10;0),(9;-1),(8;-2)......(-8;-2),(-9;-1)[/tex3]

Os pontos possíveis voltando uma vez: [tex3](8;0),(7;1)...[/tex3] e assim por diante

É trivial perceber que não é possível a soma dos módulos serem ímpares, uma simples analise de paridade mostra isso. Se quiser uma demonstração formal me fale, mas em princípio suponha que são duas puladas e tente chegar no ponto [tex3](1;0)[/tex3] . Agora suponha [tex3]4[/tex3] pulos.

E outro detalhe é que como estamos falando de distância, temos [tex3]|a|+|b|=2[/tex3] como [tex3]P(2;0),P(1;1),P(0;2),P(-1;1),P(-2;0),P(-1;-1),P(1;-2),P(0;-2)[/tex3]

Eu usei módulo justamente para não me preocupar com os quadrantes.

[Fisica12]

Certo, consegui perceber. Quanto a demonstração eu tenho dúvidas de como eu posso montar ela, se você puder fazer, agradeço.