Ensino Médio ⇒ (SIMULADO HEXAG MED 2022) Múltiplos Tópico resolvido

[matdamasceno]

(SIMULADO HEXAG MED 2022) A aluna Joana gosta de escrever números na lousa, um certo dia escreveu os números naturais de um a mil. Em seguida, Sara apagou todos os números múltiplos de 2 que Joana havia escrito na lousa. Depois foi a vez de Jéssica apagar todos os múltiplos de 3 que restaram. E, por último, Karol apagou todos os múltiplos de 5 que restaram. Quantos números foram apagados no total?

A 734.
B 1000.
C 266.
D 800.
E 832.

alguém me ajuda por favor kkkk

Resposta

---

A

[petrasMOD]

matdamasceno,

kkkk????

[JigsawMOD]

Ressuscitando Tópico de 2022 sem resolução caso alguém queira se manifestar a respeito.

[petrasMOD]

@JigsawMOD

Contar os múltiplos de cada número
Joana escreveu os números naturais de 1 a 1000, ou seja, temos inicialmente 1000 números.

1. Sara apaga os múltiplos de 2
Os múltiplos de 2 no intervalo de 1 a 1000 são:
\[
2, 4, 6, ..., 1000
\]
Essa é uma progressão aritmética com razão 2 e primeiro termo 2. O número de termos é:

\[
\frac{1000}{2} = 500.
\]

Ou seja, 500 números foram apagados por Sara.

2. Jéssica apaga os múltiplos de 3 que restaram
Os múltiplos de 3 entre 1 e 1000 são:

\[
3, 6, 9, ..., 999.
\]

O número de termos dessa progressão é:

\[
\frac{999}{3} = 333.
\]

No entanto, alguns desses já foram apagados por Sara. Os múltiplos de 6 (múltiplos de 2 e 3) já foram removidos.

\[
6, 12, 18, ..., 996.
\]

O número de termos dessa progressão é:

\[
\frac{996}{6} = 166.
\]

Então, Jéssica apagou:

\[
333 - 166 = 167.
\]

3. Karol apaga os múltiplos de 5 que restaram
Os múltiplos de 5 entre 1 e 1000 são:

\[
5, 10, 15, ..., 1000.
\]

O número de termos é:

\[
\frac{1000}{5} = 200.
\]

Precisamos excluir os que já foram apagados antes, ou seja, os múltiplos de 10 (múltiplos de 2 e 5) e os múltiplos de 15 (múltiplos de 3 e 5), além dos múltiplos de 30 (múltiplos de 2, 3 e 5):

- Múltiplos de 10:
\[
\frac{1000}{10} = 100.
\]

- Múltiplos de 15:
\[
\frac{990}{15} = 66.
\]

- Múltiplos de 30 (já contados duas vezes acima):
\[
\frac{990}{30} = 33.
\]

Aplicamos o Princípio da Inclusão-Exclusão para contar os múltiplos de 5 que ainda restam:

\[
200 - (100 + 66) + 33 = 67.
\]

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Total de números apagados
Somamos todos os números apagados por cada aluna:

\[
500 + 167 + 67 = 734.
\]