IME / ITA ⇒ (ITA) Binômio de newton Tópico resolvido

[matbatrobin]

Sejam [tex3]m\in\mathbb{N}[/tex3] e [tex3]n\in\mathbb{R}_+^*[/tex3], com [tex3]m\geq 10[/tex3] e [tex3]x\in\mathbb{R}_+^*[/tex3]. Seja [tex3]D[/tex3] o desenvolvimento do binômio [tex3](a+b)^m[/tex3] ordenado segundo as potências crescentes de [tex3]b[/tex3]. Quando [tex3]a=x^n[/tex3] e [tex3]b=x^{-n^2}[/tex3], o sexto termo de [tex3]D[/tex3] fica independente de [tex3]x[/tex3]. Quando [tex3]a=x[/tex3] e [tex3]b=x^{\frac{-1}{n}}[/tex3], o oitavo termo de [tex3]D[/tex3] se torna independente de [tex3]x[/tex3]. Determine o valor de [tex3]m[/tex3].

[John]

O termo geral do binômio é dado por: [tex3]T_{p+1} = \left(\begin{array}{cc} m\\ p \end{array}\right)(a)^{m-p}(b)^p[/tex3], [tex3]p=0,1,2,...,m[/tex3].

Então [tex3]T_{6} = \left(\begin{array}{cc} m\\ 5 \end{array}\right)(a)^{m-5}(b)^5[/tex3]. Quando [tex3]a = x^n[/tex3] e [tex3]b = x^{-n^2}[/tex3], obtemos:

[tex3]T_{6} = \left(\begin{array}{cc} m\\ 5 \end{array}\right)(x^n)^{m-5}(x^{-n^2})^5 = \left(\begin{array}{cc} m\\ 5 \end{array}\right)x^{nm - 5n -5n^2}[/tex3].

Como [tex3]T_6[/tex3] independe de [tex3]x[/tex3], devemos ter: [tex3]nm - 5n -5n^2 = 0[/tex3]. Como [tex3]n \in R_{+}^{*}[/tex3], temos: [tex3]m -5 -5n =0[/tex3].

Por outro lado,[tex3]T_{8} = \left(\begin{array}{cc} m\\ 7 \end{array}\right)(a)^{m-7}(b)^7[/tex3]. Quando [tex3]a = x[/tex3] e [tex3]b = x^{-n^{-1}}[/tex3], obtemos:

[tex3]T_{8} = \left(\begin{array}{cc} m\\ 7 \end{array}\right)(x)^{m-7}(x^{-n^{-1}})^7 = \left(\begin{array}{cc} m\\ 7 \end{array}\right)x^{m-7 -7n^{-1}}[/tex3].

Como [tex3]T_8[/tex3] independe de [tex3]x[/tex3], devemos ter: [tex3]m -7-\frac{7}{n} =0[/tex3].

Resolvendo o sistema de equações: [tex3]m -5 -5n =0[/tex3] e [tex3]m -7 -\frac{7}{n} =0[/tex3], encontramos [tex3]m = 12[/tex3].