Ensino Superior ⇒ Equações diferenciais ordinárias de segunda ordem Tópico resolvido

[garciax]

Gostaria que me ajudassem nos itens abaixo, estou com muita dificuldade em resolvê-las pelo fato de possuírem o [tex3]x[/tex3] acompanhando ambas.

1) [tex3](1 - x^{2}) y'' - x y' + y = 0[/tex3]

2) [tex3](1 - x^{2}) y'' - x y' + 9 y = 0[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Gostaria que me ajudassem no item abaixo, estou com muita dificuldade em resolve-la pelo fato de possuír o x acompanhando .

1) (1 - [tex3]x^{2}[/tex3]) y'' - x y' + y = 0

Uma solução:

Essa equação diferencial é mais conhecida como Equação de Chebyshev.

Temos

y( x ) = a0 + a1.x + a2.x² + a3.x³ + a4.x⁴ + ... + an.xⁿ + ... = [tex3]\sum_{n=0}^{∞}[/tex3] an.xⁿ.

Procuramos uma solução na forma de uma série de potências a cerca de 0.

y = [tex3]\sum_{n=0}^{∞}[/tex3] an.xⁿ

E suponha que convirja em algum intervalo simétrico em torno de zero. As séries para y' e y'' são dadas por :

y' = [tex3]\sum_{n=1}^{∞}[/tex3] n.a [tex3]_{n}.x^{ n - 1 }[/tex3]

Então,

y'' = [tex3]\sum_{n=2}^{∞}[/tex3] n.( n - 1 ).a [tex3]_{n}.x^{ n - 2 }[/tex3].

Assim , depois de inserir essas igualdades na equação diferencial inicial , obtemos:

[tex3]( 1 - x^2 ).\sum_{n=2}^{∞}n.( n - 1 ).a_{n}
x^{ n - 2 }- x.\sum_{n=1}^{∞}n.a_n.x^{ n - 1 } + \sum_{n=0}^{∞}a_n.x^{ n } = 0[/tex3]

Multiplicando as duas primeiras somas com seus fatores, deslocando os índices e agrupando os termos semelhantes , obtemos:

[tex3]\sum_{n=0}^{∞}( n + 1 ).( n + 2 ).a_{n+2}.x^{ n } - \sum_{n=2}^{∞}n.( n - 1 ).a_n.x^{ n } - \sum_{n=1}^{∞}n.a_n.x^{ n } + \sum_{n=0}^{∞}a_n.x^{ n } = 0[/tex3]

[tex3]2a_2 + 6a_3.x + \sum_{n=2}^{∞}( n + 1 ).( n + 2 ).a_{n+2}.x^{ n } - \sum_{n=2}^{∞}n.( n - 1 ).a_n.x^{ n } - a_1.x - \sum_{n=2}^{∞}n.a_n.x^{ n } + a_0 + a_1.x + \sum_{n=2}^{∞}a_n.x^{ n } = 0[/tex3]

[tex3]2a_2 + a_0 + 6a_3.x + \sum_{n=2}^{∞}[ ( n + 1 ).( n + 2 ).a_{n+2}- ( n^2 - 1 ).a_n ].x^{ n } = 0[/tex3]

Depois de equalizar os coeficiente de ambos os lados da equação , obtemos:

[tex3]\begin{cases}
2a_2 + a_0 = 0 → a_0 = - 2a_2 \\
6a_3 = 0→ a_3 = 0 \\
( n + 1 ).( n + 2 ).a_{ n + 2 } - ( n^2 - 1 ).a_n = 0
\end{cases}[/tex3]

Quando n é um número natural maior que 2.

[tex3]( n + 1 ).( n + 2 ).a_{ n + 2 } - ( n^2 - 1 ).a_n = 0[/tex3]

[tex3]a_{ n + 2 } = \frac{ ( n^2 - 1 ).a_n }{ ( n + 1 ).( n + 2 ) } [/tex3]

Os primeiros coeficientes an após a1 são:

n = 0:

a2 = [ ( 0² - 1 ).a0 ]/[ ( 1 ).( 2 ) ] = - a0/2!.

n = 1:

a3 = 0.

n = 2:

a4 = 3a2/[ ( 3 ).( 4 ) ] = - 3a0/[ ( 4 ).( 3 ).( 2 ) ] = - 3a0/4!.

n = 3:

a5 = 0.

n = 4:

a6 = 15a4/[ ( 5 ).( 6 ) ] = - 45a0/[ ( 6 ).( 5 ).( 4 ).( 3 ).( 2 ) ] = - 45a0/6!.

.
.
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Portanto, a solução é :

y( x ) = a0 - ( a0/2! ).x² - ( 3a0/4! ).x⁴ - ( 45a0/6! ).x⁶ - ...

Nota

Você pode colocar numa soma fechada , ou seja , usando o símbolo de somatório, ficará como exercício para o leitor!



Excelente estudo!