Olimpíadas ⇒ Olimpíada nacional do Chile 2022 Tópico resolvido

[Babi123]

Para quantos naturais [tex3]n[/tex3], os números [tex3]n, \ 1+2n, \ 1+4n[/tex3] são primos?

[leozitz]

dica:

Resposta

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nesse tipo de questão é comum usar divisibilidade já q se é primo então tem poucos divisores oq facilita as coisas ai um bom começo é olhar mod alguma coisa de forma que n, 1 + 2n, 1 + 4n forme um sistema completo de resíduos, com isso pelo menos um desses número vai ser divisível por essa coisa e a gente pode separar em casos

[JigsawMOD]

@cajuADMIN poderia confirmar se a resolução apresentada contempla a referida questão.

[Ittalo25MOD]

n = 1 não serve, pois 1 não é primo
n = 2 não serve, pois teríamos os números 2, 5 e 9
n = 3 serve, pois teríamos os números 3, 7 e 13

agora suponha um número n maior que 3

se [tex3]n, \ 1+2n, \ 1+4n[/tex3] são primos e maiores que 3, então eles deixam resto 1 ou 2 na divisão por 3

se [tex3]n [/tex3] deixa resto 1 na divisão por 3, então [tex3]1+2n [/tex3] deixaria resto 3, ou seja 0, na divisão por 3. Não tem como.

se [tex3]n [/tex3] deixa resto 2 na divisão por 3, então [tex3]1+4n [/tex3] deixaria resto 9, ou seja 0, na divisão por 3. Não tem como.

então o único valor que dá certo é n=3