IME / ITA ⇒ (AFA - 1996) Equação Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

A solução da equação [tex3]\sqrt[x]{3}-\sqrt[2x]{3}=2[/tex3] é:

a) [tex3]log\text{ 2}[/tex3].
b) [tex3]log\text{ 7}[/tex3].
c) [tex3]\frac{log\text{3} } {log\text{ 4}}[/tex3].
d) [tex3]\log\left(\frac{7}{2\sqrt{2}}\right)[/tex3].

[John]

Fazendo [tex3]y =\sqrt[x]{3}[/tex3], obtemos [tex3]y - \sqrt{y} = 2[/tex3]. Daí, [tex3]\sqrt{y} = y - 2[/tex3]. Elevando ao quadrado, obtemos:

[tex3]y = y^2 -4y + 4[/tex3]

[tex3]y^2 -5y + 4 =[/tex3]

[tex3]y = 1[/tex3] ou [tex3]y = 4[/tex3].

Note que [tex3]y = 1[/tex3] não satisfaz a equação [tex3]y - \sqrt{y} = 2[/tex3]. Logo [tex3]y = 4[/tex3] é a única solução. Então,

[tex3]\sqrt[x]{3} = 4[/tex3]

[tex3]3^{\frac{1}{x}} = 4[/tex3]

[tex3]log_{3}3^{\frac{1}{x}} = log_34[/tex3]

[tex3]\frac{1}{x} = log_34 = \frac{log 4}{log 3}[/tex3]

[tex3]x = \frac{log 3}{log_4}[/tex3].

Alternativa c).