Ensino Superior ⇒ Produto misto Tópico resolvido

[CloudAura]

Calcular o volume do tetraedro ABCD, sendo dados:
A(-1,3,2), B(0,1,-1), C(-2,0,1) e D(1,-2,0) , calcular também a medida da altura traçada do vértice A.


O volume eu sei calcular, o problema é achar a altura.
PS: Sei que há uma fórmula pronta pra achar essa altura mas queria uma demonstração de como achar ela usando o produto misto em um tetraedro.

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

Como você já sabe encontrar o volume, então vou resumir aqui e parte para a segunda parte da sua dúvida!

Temos os seguintes vetores:

[tex3]\vec{AB}[/tex3] = ( 1 , - 2 , - 3 ) ; [tex3]\vec{AC}[/tex3] = ( - 1 , - 3 , - 1 ) e [tex3]\vec{AD}[/tex3] = ( 2 , - 5 , - 2 ).

Usando a fórmula V = ( 1/6 ).[ | [tex3]\vec{AB}, \vec{AC} , \vec{AD} [/tex3] | ].

Logo,

V = 4u.v.

Sabemos que o volume do tetraedro pode ser calculado como :

V = ( Ab × H )/3

E a área do triângulo podemos calcular usando a seguinte fórmula :

Ab = ( 1/2 ).| det ( BCD ) |

Ab = ( 1/2 ).[tex3]\left| \begin{array}{rcr}
0 & 1 & -1 \\
-2 & 0 & 1\\
1 & -2 & 0
\end{array} \right|[/tex3] = 3/2

Portanto,

4 = ( 3/2 ) × H

H = 8/3 u.c.

Excelente estudo!