Ensino Superior ⇒ Fonte luminosa/planos/ângulos Tópico resolvido

[CloudAura]

Uma fonte luminosa pontual F = (0,0,1) emite um raio luminoso na direção do ponto A = (1,1,0), que é refletido por um espelho plano contido em pi: y = 3.

- Em que ponto do espelho incide o raio luminoso?
Consegui achar a resolução fazendo a interseção entre pi e a reta formada pelo ponto A e pelo ponto F. O ponto é (3,3,-2)

- Em que ponto o raio refletido atinge OXZ?
Consegui começar a resolver usando o ângulo que o vetor normal ao plano OXZ forma com a reta formada pelo ponto A e pelo ponto F que usei na resolução acima, além disso usei o fato de que o ângulo de incidência é igual ao ângulo refletido, mas não consegui desenvolver pois tenho duas incógnitas(a coordenada x e a coordenada z do plano OXZ já que a coordenda y é 0) e apenas uma equação.

[Cardoso1979]

Observe

Uma fonte luminosa pontual F = (0,0,1) emite um raio luminoso na direção do ponto A = (1,1,0), que é refletido por um espelho plano contido em pi: y = 3.

- Em que ponto do espelho incide o raio luminoso?
Consegui achar a resolução fazendo a interseção entre pi e a reta formada pelo ponto A e pelo ponto F. O ponto é (3,3,-2)

- Em que ponto o raio refletido atinge OXZ?
Consegui começar a resolver usando o ângulo que o vetor normal ao plano OXZ forma com a reta formada pelo ponto A e pelo ponto F que usei na resolução acima, além disso usei o fato de que o ângulo de incidência é igual ao ângulo refletido, mas não consegui desenvolver pois tenho duas incógnitas(a coordenada x e a coordenada z do plano OXZ já que a coordenda y é 0) e apenas uma equação.

Já que você resolveu a primeira parte , resolverei a sua segunda dúvida ( caso não tivesse resolvido a primeira eu iria resolver somente a primeira parte ). Vamos usar o resultado que você obteve na primeira pergunta.

Uma solução:

Precisamos usar a lei da reflexão. Essa lei diz que : O ângulo de reflexão é igual ao ângulo de incidência.

O raio incidente, a reta normal e o raio refletido estão num mesmo plano.

Vamos encontrar o plano que contém a reta normal e o raio refletido. A reta normal ao plano π : y = 3 possui vetor diretor ( 0 , 1 , 0 ) ; o vetor diretor do raio luminoso é ( 1 , 1 , - 1 ). Assim, podemos encontrar a equação do plano da seguinte maneira :

( 0 , 1 , 0 ) × ( 1 , 1 , - 1 ) = [tex3]\left| \begin{array}{rcr}
\hat i & \hat j & \hat k \\
0 & 1 & 0\\
1 & 1 & - 1
\end{array} \right|[/tex3] = ( - 1 , 0 , - 1 ).

A equação do plano será :

π2 : - x + 0.y - z + d = 0.

Como π2 passa por ( 3 , 3 , - 2 ) , segue que

- 3 + 2 + d = 0 → d = 1.

Logo,

π2 : x + z - 1 = 0

Agora vamos encontrar qual é a equação do raio refletido. Já sabemos um ponto dessa reta. X = ( 3 , 3 , - 2 ). Precisamos de outro ponto para que sua equação fique determinada. Podemos calcular o ponto simétrico de F em relação à reta X2 = ( 3 , 3 , - 2 ) + t.( 0 , 1 , 0 ) ( que é a reta normal ao espelho passando pelo ponto X ).

Para calcular o ponto simétrico , vamos calcular a equação da reta X3 , que passa por F, possui vetor diretor perpendicular ao de X2 , e está contida em π2.

I. Seja ( x0 , y0 , z0 ) o vetor diretor de X3. Assim;

( x0 , y0 , z0 ).( 0 , 1 , 0 ) = 0 → y0 = 0


I I. Como está contida em π2 :

x0 + z0 - 1 = 0 → z0 = 1 - x0

Portanto , temos

X3 = ( 0 , 0 , 1 ) + t1.( x0 , 0 , 1 - x0 )

Vamos calcular a interseção de X3 com X2 :

( 0 , 0 , 1 ) + t1.( x0 , 0 , 1 - x0 ) = ( 3 , 3 , - 2 ) + t2.( 0 , 1 , 0 ).

( t1.x0 , 0 , t1 - t1.x0 + 1 ) = ( 3 , 3 + t2, - 2 )

{ t1.x0 = 3
{ 3 + t2 = 0
{ t1 - t1.x0 + 1 = - 2

Da segunda equação, tiramos que t2 = - 3 , de modo que o ponto obtido é :

( 3 , 3 , - 2 ) + ( - 3 ).( 0 , 1 , 0 ) = ( 3 , 0 , - 2 ).

O ponto M = ( 3 , 0 , - 2 ) é o ponto entre o ponto F e o ponto que desejamos ( vamos chamá-lo de Y ) . Dessa forma,

M = ( F + Y )/2

Y = 2M - F

Y = 2.( 3 , 0 , - 2 ) - ( 0 , 0 , 1 ) = ( 6 , 0 , - 5 )

De maneira que a equação do raio refletido será :

X4 = F + t.[tex3]\vec{XY}[/tex3] = ( 3 , 3 , - 2 ) + t.[ ( 6 , 0 , - 5 ) - ( 3 , 3 , - 2 ) ] = ( 3 , 3 , - 2 ) + t.( 3 , - 3 , - 3 )

X4 = ( 3 + 3t , 3 - 3t , - 2 - 3t )

O ponto em que X4 atinge Oxz ( plano de equação y = 0 ) ocorrerá quando :

3 - 3t = 0 → t = 1.

Portanto, o ponto será: ( 6 , 0 , - 5 ).

Excelente estudo!