Ensino Superior ⇒ Gostaria de saber a resolução desta questão Tópico resolvido

[Lrbg2001]

Dez amigos contrataram um passeio cuja lotação é de 40 pessoas. Para que haja mais pessoas aderindo ao passeio, a agência de turismo ofereceu R$ 5,00 de desconto no preço individual para cada nova pessoa que contratar o passeio. Considerando que cada amigo pagará R$200,00 caso não haja novos contratantes, determine, em real, a receita máxima da agência de turismo nesse passeio.

[LostWalker]

Quantidade e Preço

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O quanto a empresa irá ganhar depende desses dois fatores, então basta dizer que:

[tex3]V(x)=Q(x)\cdot P(x)[/tex3]


Afinal, tudo irá variar a partir de [tex3]x[/tex3]. Sabemos que, inicialmente, há [tex3]10[/tex3] pessoas e cada uma pagará [tex3]200[/tex3] reais, ou seja, sem que haja variação, esse é o nosso valor de referência:

[tex3]V(0)=Q(0)\cdot P(0)[/tex3]

[tex3]V(0)=10\cdot 200[/tex3]

[tex3]V(0)=2000[/tex3]


Mas certo, na verdade, esse valor não importa, o que importa é como [tex3]Q(x)[/tex3] e [tex3]P(x)[/tex3] variam. Vamos começar pelo mais fácil. Queremos dizer que [tex3]x[/tex3] é a variação de cada pessoa, ou seja, podemos dizer, cada nova pessoa transforma como [tex3]Q(x)=10+x[/tex3] (Não esquecer que já estamos considerando os 10 amigos iniciais). Agora, sobre [tex3]P(x)[/tex3], ele começa em [tex3]200[/tex3], mas cada pessoa a mais, diminui o valor em [tex3]5[/tex3]. Podemos dizer então que [tex3]P(x)=200-5x[/tex3]. Basta agora desenvolver tudo:

[tex3]V(x)=Q(x)\cdot P(x)[/tex3]

[tex3]V(x)=\(10+x\)\cdot\(200-5x\)[/tex3]

[tex3]V(x)=2000-50x+200x-5x^2[/tex3]

[tex3]\boxed{V(x)=-5x^2+150x+2000}[/tex3]




A Maior Venda

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Ora, a equação que obtivemos, nada mais é que uma equação do segundo grau. Como seu coeficiente angular é negativo, significa que ela possui um valor máximo, justamente o que buscamos, então basta usarmos a fórmula do vértice:

[tex3]y_v=\frac{-\Delta}{4a}[/tex3]


Certo, vamos fazer um pequeno truque antes, vamos usar:

[tex3]V(x)=-5x^2+150x+2000~~~~\therefore~~~~\boxed{V(x)=5\(-x^2+30x+400\)}[/tex3]


Vamos utilizar esse [tex3]5[/tex3] como uma constante, mantendo-o fora da conta, isso irá facilitar as nossas contas. Desse modo, o que vamos calcular é o vértice dentro dos parênteses:

[tex3]y_v=\frac{-\Delta}{4a}[/tex3]

[tex3]y_v=\frac{{\color{Red}\cancel{\color{Black}-}}\(30^2-4\cdot(-1)\cdot400\)}{4\cdot{\color{Red}\cancel{\color{Black}(-1)}}}[/tex3]

[tex3]y_v=\frac{900+1600}{4}[/tex3]

[tex3]y_v=\frac{2500}4[/tex3]

[tex3]\boxed{y_v=625}[/tex3]


Agora, substituímos esse valor:

[tex3]V(x)=5{\color{PineGreen}\(-x^2+30x+400\)}[/tex3]

[tex3]V(x)=5\cdot{\color{PineGreen}625}[/tex3]


[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{V(x)=3\,125}[/tex3]