IME / ITA ⇒ (CMPA-2005)Fibonacci Tópico resolvido

[botelho]

Considere a sequência de Fibonacci (Fn)=(f1,f2,f3,...), onde é um número natural não nulo e f1,f2,f3..são chamados números de Fibonacci. Essa sequência é tal que f1=f2=1 e, para n [tex3]\geq [/tex3] 2, fn+1=fn + fn-1. Se [tex3]\sqrt[f3]{fn}[/tex3]-n, então a área do hexágono regular L=[tex3]\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+....}}}}[/tex3], é igual a:
a)[tex3]\sqrt{3}[/tex3]
b)3 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]
c)8 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]
d)12 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]
e)24 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

Resposta

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e

[LostWalker]

Encontrando n

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Facilmente é observável que [tex3]f_3 = f_1+f_2=1+1=2[/tex3], então temos que:

[tex3]\sqrt[f_3]{f_n}=n[/tex3]
[tex3]\sqrt{f_n}=n[/tex3]
[tex3]n^2=f_n[/tex3]

Nesse momento, ponderando o nível de dificuldade da prova, podemos presumir que a maneira mais fácil de achar [tex3]f_n[/tex3] é por tentativa e erro. Podemos aproveitar que a sequência de Fibonacci só possui números inteiro, logo, vamos escrever os termos até encontrar um quadrado perfeito:

[tex3](1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,{\color{Red}144})[/tex3]

Veja que essa se trata da solução da questão:

[tex3]144=12^2=f_{12}~~~\therefore~~~n=12[/tex3]




Calculando L

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Temos agora a estrutura infinita:

[tex3]L=\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12\cdots}}}[/tex3]


Como o padrão é infinito, podemos utilizar uma substituição, característica desse tipo de questão:


[tex3]L=\sqrt{12+{\color{JungleGreen}\sqrt{12+\sqrt{12\cdots}}}}[/tex3]
[tex3]L=\sqrt{12+{\color{JungleGreen}L}}[/tex3]
[tex3]L^2=12+L[/tex3]

[tex3]L^2-L-12=0[/tex3]
[tex3](L+3)(L-4)=0[/tex3]

Como [tex3]L[/tex3] é certamente positivo pois saiu de uma raiz quadrada, temos [tex3]L=4[/tex3]




Área de Hexágono Regular

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Existem fórmulas prontas para tal. Caso não se lembro, vc pode calcular a área de um triangulo equilátero e multiplicar por 6. Ou ainda, caso não tenha essa decorada, desenhar um triangulo equilátero e traçar a altura, tendo assim, dois triângulos retângulos, por fim, achar a altura (cateto maior) por Pitágoras e finalmente calculando a área, de maneira geral, a equação para a área do Hexágono é:

[tex3]A=6\cdot\(\frac L2\)^2\sqrt3[/tex3]
[tex3]A=6\cdot\(\frac 42\)^2\sqrt3[/tex3]
[tex3]A=6\cdot4\sqrt3[/tex3]

[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{L=24\sqrt3}[/tex3]

[tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Alternativa E}[/tex3]