Ensino Superior ⇒ Assintotas Horizontais Tópico resolvido

[lucassmarques]

Determine as assintotas horizontais da função

f(x)=[tex3]\frac{x-1}{x^{4}+x^{3}-x^{2}-x}[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

Para encontrar as assíntotas horizontais, basta calcularmos os limites da função tendendo a mais infinito e a menos infinito. Temos

[tex3]\lim_{x \rightarrow ± \infty}\frac{x-1}{x^{4}+x^{3}-x^{2}-x}[/tex3]

Esse limite se resume a

[tex3]\lim_{x \rightarrow ± \infty}\frac{x}{x^{4}} = [/tex3]

[tex3]\lim_{x \rightarrow ± \infty}\frac{1}{x^{3}} = \frac{1}{( ± ∞ )^3} = \frac{1}{± ∞} = 0[/tex3]

Portanto, a função possui uma assíntota horizontal y = 0.

Obs. Você poderia proceder também assim:

[tex3]\lim_{x \rightarrow ± \infty}\frac{x-1}{x^{4}+x^{3}-x^{2}-x} = [/tex3]

[tex3]\lim_{x \rightarrow ± \infty}\frac{\cancel{x^4}.\left(\frac{1}{x^3} - \frac{1}{x^4}\right)}{\cancel{x^{4}}. \left( 1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^3}\right)} = \frac{0}{1 + 0} = 0[/tex3]

Ou então,

[tex3]f( x ) = \frac{x-1}{x^{4}+x^{3}-x^{2}-x}[/tex3]

Fatorando, obtém-se

[tex3]f( x ) = \frac{1}{x.( x + 1 )^2}[/tex3]

Segue que

[tex3]\lim_{x \rightarrow ± \infty}\frac{1}{x.( x + 1 )^2} = \frac{1}{ ± ∞ } = 0 [/tex3] , obtemos o mesmo resultado, ou seja , y = 0 é a assíntota horizontal que procuramos!






Excelente estudo!