Pré-Vestibular ⇒ (FAPEC - PASSE 2021) Polinômio Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Um polinômio [tex3]P(x)[/tex3], de coeficientes reais e de menor grau possível, tem [tex3]2 + i[/tex3] e [tex3]1[/tex3] como duas de suas raízes. Se o coeficiente de seu termo dominante é igual a [tex3]2[/tex3], então [tex3]P (– 1)[/tex3] é igual a:

A) [tex3]40[/tex3].
B) [tex3]8[/tex3].
C) [tex3]- 10[/tex3].
D) [tex3]- 40[/tex3].
E) [tex3]- 102[/tex3].

Resposta

---

D

[Auto Excluído (ID: 29243)]

Conforme abordado na questão, o polinômio [tex3]P(x)[/tex3] admite as raízes [tex3]1[/tex3] e [tex3]2+i[/tex3]. Logo, sendo [tex3]2+1[/tex3] a raiz complexa de [tex3]P(x)[/tex3], o seu conjugado também será raiz: [tex3]P(2-i) = 0[/tex3]. Com isso, a equação polinomial será de grau [tex3]3[/tex3], o que satisfaz a condição de "menor grau possível".

[tex3]P(x) = a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)\cdot (x-x_3)[/tex3]
[tex3]P(x) = 2\cdot (x-1)\cdot [x-(2+i)]\cdot [x-(2-i)][/tex3]

Sendo assim, o valor numérico de [tex3]P(-1)[/tex3] é igual a:

[tex3]P(-1) = 2\cdot (-1-1)\cdot [-1-(2+i)]\cdot [-1-(2-i)][/tex3]
[tex3]P(-1) = 2\cdot (-2)\cdot (-3-i)\cdot (-3+i)[/tex3]
[tex3]P(-1) = (-4)\cdot (9 + 3i -3i -i^2)[/tex3]
[tex3]P(-1) = (-4)\cdot10[/tex3]
[tex3]P(-1) = -40[/tex3]