Ensino Superior ⇒ Calculo Vetorial - Curvatura de uma curva Tópico resolvido

[ftellesp]

Boa noite galera.. Então, estou com umas dúvida sobre o cálculo em si dessa curvatura, entendi pra que serve mas travo e não consigo nem colocar na fórmula final de curvatura que é k = |T'(t)| / |r'(t)|

Encontre a curvatura para a curva r(t) = (cos t + t sen t)i + (sen t - t cos t)j para t > 0

Resposta

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a resposta sei que dá 1/t

[Cardoso1979]

Observe

Eba!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Mais uma questão com gabarito

Solução:

A fórmula para determinar a curvatura de uma curva é dada por

[tex3]k = \left|\frac{dT}{ds}\right|[/tex3] ou [tex3]k(t) = \frac{| T'(t) |}{ | r'( t ) |}[/tex3]

Temos que:

r(t) = (cos (t) + t.sen (t) ).i + (sen (t) - t.cos (t) ).j para t > 0 ,

Então,

r'( t ) = ( - sen(t) + sen(t) + t.cos(t) ).i + ( cos(t) - cos(t) + t.sen(t) ).j

r'( t ) = ( t.cos(t) ).i + ( t.sen(t) ).j

e

| r'( t ) | = √[ ( t.cos(t) )^2 + ( t.sen(t) )^2 ]

| r'( t ) | = √[ t².( cos²(t) + sen²(t) ) ]

| r'( t ) | = √[ t².1 ]

| r'( t ) | = √t² , t > 0

| r'( t ) | = t

Por outro lado, temos ainda;

T( t ) = r'( t )/| r'( t ) | = [ ( t.cos(t) ).i + ( t.sen(t) ).j ]/t

T( t ) = ( cos(t) ).i + ( sen(t) ).j

e

T'( t ) = - ( sen(t) ).i + ( cos(t) ).j

Isso nos dá,

| T'( t ) | = √[ ( - sen(t) )^2 + ( cos(t) )^2 ]

| T'( t ) | = √[ sen²(t) + cos²(t) ]

| T'( t ) | = √1

| T'( t ) | = 1

Portanto, a curvatura é k( t ) = | T'( t ) |/| r'( t ) | = 1/t .


Mais um usuário que teve todas as suas perguntas resolvidas ( referente as perguntas do Ensino Superior )


Excelente estudo!