Ensino Superior ⇒ Classes laterais - Algebra Moderna Tópico resolvido

[EANDRIOLI]

Amigos, preciso da seguinte ajuda:

- Determinar todas as classes laterais de H = {0,3,6,9} no grupo aditivo Z12.


Obs.: acima, os numeros 0,3,6,9 devem ser com risco em cima (barra) e o 12 acima é índice.

Obrigado!

EAS

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

Teorema de Lagrange :

A ordem do grupo é igual a quantidade de classes laterais multiplicada pela ordem do subgrupo.

Em notação:

O( G ) = ( G : H ) × O( H )

Onde;

O( G ) : ordem do grupo
( G : H ) : quantidade de classe laterais índice de H em G.
O( H ) : ordem do subgrupo H.

Outra notação:

| G | = ( G : H ) . | H |

| G | : ordem de G( colocada entre barras );

( G : H ) : índice de H em G;

| H | : ordem do subgrupo H.

Daí, podemos reescrever que

( G : H ) = | G |/| H |

Agora vamos ao desenvolvimento da solução para esta questão, do enunciado podemos tirar que

| H | = 4 ( ordem do subgrupo ) e | [tex3]\ Z_{12}[/tex3] | = 12.

Então,

( [tex3]Z_{12}[/tex3] : H ) = 12/4 = 3 ( existem apenas três (3) classes laterais módulo H definidas pelos elementos de Z [tex3]_{12}[/tex3] ).

Assim,

[tex3]\overline{0}[/tex3] + H = { [tex3]\overline{0} , \overline{3} , \overline{6} , \overline{9}[/tex3] } = H

[tex3]\overline{1}[/tex3] + H = { [tex3]\overline{1} , \overline{4} , \overline{7} , \overline{10}[/tex3] } = [tex3]\overline{1}[/tex3] + H

[tex3]\overline{2}[/tex3] + H = { [tex3]\overline{2} , \overline{5} , \overline{8} , \overline{11}[/tex3] } = [tex3]\overline{2}[/tex3] + H

Obs.1 Somente para ilustrar, por exemplo , se quiséssemos procurar por mais uma classe , teríamos

[tex3]\overline{3}[/tex3] + H = { [tex3]\overline{3} , \overline{6} , \overline{9} , \overline{0}[/tex3] } = [tex3]\overline{0}[/tex3] + H ( já foi encontrada , ou seja , já está inclusa ! Qualquer outra classe que você procurar só irá se repetir , em outras palavras já estará dentro daquelas classes já encontradas ).

Obs.2 [tex3]\overline{3} + \overline{9} = \overline{12} = \overline{0}[/tex3]

Portanto, as únicas três (3) classes laterais possíveis são : Z [tex3]_{12}[/tex3] / H = { H , [tex3]\overline{1}[/tex3] + H , [tex3]\overline{2}[/tex3] + H }.

Obs.3 Z [tex3]_{12}[/tex3] = { [tex3]\overline{0} , \overline{1} , \overline{2} , \overline{3} , \overline{4}, \overline{5} , \overline{6} , \overline{7} , \overline{8}, \overline{9} , \overline{10} , \overline{11}[/tex3] }.

Excelente estudo!