Física III ⇒ (Irodov) Campo magnético Tópico resolvido

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Uma bobina de camada única (solenoide) possui comprimento L e raio de corte transversal R. O número de voltas por unidade de comprimento é igual a n. Encontre o campo magnético no centro da bobina quando uma corrente i flui através dela.

Resposta

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[tex3]B=\frac{\mu ni}{2}(sen\theta_1+sen\theta_2)[/tex3], onde os ângulos são aqueles que o ponto, no eixo, enxerga os extremos da bobina.

[Matheusrpb]

i) Campo a uma distância [tex3]x[/tex3] no eixo de uma espira de raio [tex3]R[/tex3]:

[tex3]B = \frac{\mu_0IR^2}{2\(x^2+R^2\)^{\frac32}}[/tex3]

ii) Considere um comprimento [tex3]dx[/tex3] do solenoide a uma distância x do centro, sendo [tex3]n[/tex3] o número de espiras por comprimento, o número de espiras nesse comprimento é:

[tex3]N = ndx[/tex3]

iii) Considerando a contribuição de todas as espiras do solenoide, temos:

[tex3]\int dB = \int^{\frac {L}{2}}_{-\frac{L}2}\frac{\mu_oInR^2dx}{2\(x^2+R^2\)^{\frac32}}[/tex3]

[tex3]B = \frac{\mu_0IR^2n}{2}\int^{\frac L2}_{-\frac L2}\frac{1}{\(x^2+R^2\)^{\frac32}}dx[/tex3]

[tex3]x = R\tg\theta \ \rightarrow \ dx = R\sec^2\theta d\theta[/tex3]

[tex3]B = \frac{\mu_0IR^2n}{2}\int^{c_2}_{c_1}\frac{R\sec^2\theta}{R^3\sec^3\theta}d\theta[/tex3]

[tex3]B = \frac{\mu_0In}{2}\[\sen\theta\]^{c_2}_{c_1} = \frac{\mu_0In}{2}\cdot\[\frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}}\]^{\frac L2}_{-\frac L2}[/tex3]

[tex3]B = \frac{\mu_0In}{2}\cdot \frac{L}{\sqrt{R^2 + \frac{L^2}{4}}}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{B = \frac{\mu_0In}{\sqrt{1+\(\frac{2R}{L}\)^2}}}}[/tex3]