Pré-Vestibular ⇒ FGV - Múltiplos e divisores Tópico resolvido

[florestinha89]

Considere o número [tex3]N = 5184 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{n}[/tex3], sendo [tex3]n[/tex3] inteiro. O número de valores inteiros de [tex3]n[/tex3], não necessariamente positivos, para os quais [tex3]N[/tex3] também é inteiro é:

a) 11
b) 9
c) 4
d) 6
e) 5

Gabarito:

Resposta

---

A

[Auto Excluído (ID: 29382)]

Reescrevendo o número [tex3]N[/tex3], temos que:

[tex3]N = 5 \, 184 \cdot \left ( \frac{2}{3} \right )^n[/tex3]
[tex3]N = 5 \, 184 \cdot \frac{2^n}{3^n}[/tex3]
[tex3]N = \frac{5 \, 184}{3^n} \cdot 2^n[/tex3]

Logo, os valores inteiros e positivos de [tex3]n[/tex3], para os quais [tex3]N[/tex3] também é inteiro, são tais que a divisão [tex3]\frac{5 \, 184}{3^n} \in \mathbb{Z}[/tex3]. Testando os valores:

• Para [tex3]n = 1[/tex3], [tex3]\frac{5 \, 184}{3^1} = 1 \, 728[/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]N \in \mathbb{Z}[/tex3]
• Para [tex3]n = 2[/tex3], [tex3]\frac{5 \, 184}{3^2} = 576[/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]N \in \mathbb{Z}[/tex3]
• Para [tex3]n = 3[/tex3], [tex3]\frac{5 \, 184}{3^3} = 192[/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]N \in \mathbb{Z}[/tex3]
• Para [tex3]n = 4[/tex3], [tex3]\frac{5 \, 184}{3^4} = 64[/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]N \in \mathbb{Z}[/tex3]
• Para [tex3]n = 5[/tex3], [tex3]\frac{5 \, 184}{3^5} = 21,333 \cdots[/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]N \notin \mathbb{Z}[/tex3]

Ao substituirmos a variável de [tex3]N[/tex3] por "[tex3]-n[/tex3]", temos que:

[tex3]N = 5 \, 184 \cdot \left ( \frac{2}{3} \right )^{-n}[/tex3]
[tex3]N = 5 \, 184 \cdot \frac{(2)^{-n}}{(3)^{-n}}[/tex3]
[tex3]N = \frac{5 \, 184}{2^n} \cdot 3^n[/tex3]

De maneira análoga a como fizemos inicialmente, os valores inteiros e agora NÃO positivos de [tex3]n[/tex3], para os quais [tex3]N[/tex3] também é inteiro, são tais que a divisão [tex3]\frac{5 \, 184}{2^n} \in \mathbb{Z}[/tex3]. Testando os valores:

• Para [tex3]n = 1[/tex3], [tex3]\frac{5 \, 184}{2^1} = 2 \, 592[/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]N \in \mathbb{Z}[/tex3]
• Para [tex3]n = 2[/tex3], [tex3]\frac{5 \, 184}{2^2} = 1 \, 296[/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]N \in \mathbb{Z}[/tex3]
• Para [tex3]n = 3[/tex3], [tex3]\frac{5 \, 184}{2^3} = 648[/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]N \in \mathbb{Z}[/tex3]
• Para [tex3]n = 4[/tex3], [tex3]\frac{5 \, 184}{2^4} = 324[/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]N \in \mathbb{Z}[/tex3]
• Para [tex3]n = 5[/tex3], [tex3]\frac{5 \, 184}{2^5} = 162[/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]N \in \mathbb{Z}[/tex3]
• Para [tex3]n = 6[/tex3], [tex3]\frac{5 \, 184}{2^6} = 81[/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]N \in \mathbb{Z}[/tex3]
• Para [tex3]n = 7[/tex3], [tex3]\frac{5 \, 184}{2^7} = 40,5[/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]N \notin \mathbb{Z}[/tex3]

Sabemos também que para [tex3]n = 0[/tex3] ambas as divisões são satisfeitas, uma vez que [tex3]\frac{5 \, 184}{3^0} = \frac{5 \, 184}{2^0} = 5 \, 184 \in \mathbb{Z}[/tex3]. Concluímos, então, que a quantidade de valores inteiros de [tex3]n[/tex3] é [tex3]11 \checkmark[/tex3]

[Atrix]

Prof Cajuu, faz resolução dessa questão por favor!