Pré-Vestibular ⇒ (UnB/PAS - 1998) Análise Combinatória: Combinações Completas Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Um ecologista deseja reflorestar uma pequena área quadrada de [tex3]4 900 \, \text{m}^2,[/tex3] usando [tex3]5[/tex3] espécies de árvores: aroeira, mogno, castanheira, ipê e angico. Para isso, a área será dividida em [tex3]49[/tex3] quadrados iguais e, no centro de cada um deles, será plantada uma muda de uma dessas árvores. Das [tex3]49[/tex3] mudas que ele adquiriu, sabe-se que existem pelo menos [tex3]5[/tex3] de cada uma das espécies mencionadas. O ecologista decide plantar na primeira fileira de quadrados exatamente [tex3]3[/tex3] espécies distintas entre as [tex3]5[/tex3] disponíveis. Desconsiderando a ordem em que as árvores serão plantadas nessa fileira, calcule o número de maneiras distintas que o ecologista pode compô-la. Divida o valor calculado por [tex3]10[/tex3] e despreze, caso exista, a parte fracionária desse resultado.

Resposta:

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15

[petrasMOD]

[tex3]
Exs:\\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline \color{red}1 & \color{red}2&\color{red}3&1&1&1&1 \\
\hline
\end{array}\\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline \color{red}3 & \color{red}4&\color{red}5&3&3&3&5 \\
\hline
\end{array} \\...[/tex3]
Maneira de escolher 3 espécies para a primeira fileira teremos
Teremos [tex3]\mathsf{C_{5,3}=\frac{5!}{3!2!}=10~maneiras}\\
[/tex3]
Para as posições restantes teremos uma combinação completa. 4 posições para 3 espécies
[tex3]CR_{3,4}=C_{3+4-1, 4} = C_{6,4}= \frac{6!}{4!2!}=15~maneiras\\
[/tex3]
Portanto o total de maneiras possíveis:[tex3]10.15 = 150\implies \frac{150}{10} = 15\color{green}\checkmark[/tex3]