IME / ITA ⇒ (ESPCEX - 2000) Sistema Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Pode-se afirmar que o sistema [tex3]\{2x-1=3sen\theta\\x-2=cos\theta[/tex3], [tex3]x \in \mathbb{R}[/tex3] e [tex3]0 \leq \theta < 2\pi[/tex3],

[tex3]\boxed{A}[/tex3] possui apenas um par ordenado [tex3](x,\theta)[/tex3] como solução.
[tex3]\boxed{B}[/tex3] possui dois pares ordenados [tex3](x,\theta)[/tex3] como solução.
[tex3]\boxed{C}[/tex3] possui três pares ordenados [tex3](x,\theta)[/tex3] como solução.
[tex3]\boxed{D}[/tex3] possui infinitas soluções.
[tex3]\boxed{E}[/tex3] não possui solução.

[John]

Pela fórmula fundamental [tex3]sen^2(\theta) + cos^2(\theta) = 1[/tex3], temos:

[tex3]\left(\frac{2x-1}{3}\right)^{2} + (x-2)^2 = 1[/tex3]

ou seja,

[tex3]13x^2 - 40x + 28 = 0[/tex3]

Então [tex3]x = 2[/tex3] ou [tex3]x = \frac{14}{13}[/tex3].

Assim,

se [tex3]x = 2[/tex3], então [tex3]sen(\theta) = 1[/tex3] e [tex3]cos(\theta) = 0[/tex3]. Como [tex3]0 \leq \theta \leq 2\pi[/tex3], segue que [tex3]\theta = \frac{\pi}{2}[/tex3].

se [tex3]x = \frac{14}{13}[/tex3], então [tex3]sen(\theta) = \frac{5}{13}[/tex3] e [tex3]cos(\theta) = -\frac{12}{13}[/tex3]. Como [tex3]0 \leq \theta \leq 2\pi[/tex3], [tex3]sen(\theta) > 0[/tex3] e [tex3]cos(\theta) < 0[/tex3], existe um único [tex3]\theta_1 \in (\frac{\pi}{2}, \pi)[/tex3] tal que [tex3]sen(\theta_1) = \frac{5}{13}[/tex3] e [tex3]cos(\theta_1) = -\frac{12}{13}[/tex3].

Assim, o sistema admite duas soluções: [tex3](x, \theta) = (2, \frac{\pi}{2})[/tex3] e [tex3](x, \theta) = (\frac{14}{13}, \theta_1)[/tex3].

Alternativa B.