Concursos Públicos ⇒ Área do semicirculo Tópico resolvido

[evelysousa]

O semicírculo abaixo tem raio de 10 cm e os pontos B e C dividem o semicírculo em três arcos iguais. Sabendo disso, podemos afirmar que a área sombreada vale:
Gabarito: [tex3]\frac{50\pi }{3}[/tex3]
Eu fiz assim devo ter errado em algum passo...
A figura formada pela área hachurada eu achei parecido com triangulo isosceles, reto em B. Entao eu encontrei o comprimento dos arcos já que são iguais, AB=BC=CD.
Como é um meio circulo:
C=[tex3]\pi [/tex3]*r
C=10 [tex3]\pi [/tex3]
[tex3]\overline{AC}[/tex3] ^2 = [tex3]\overline{AB}^{2} + \overline{BC}^{2}[/tex3]
[tex3]\overline{AC}^{2}[/tex3]= 100 [tex3]\pi ^{2}[/tex3]+100 [tex3]\pi ^{2}[/tex3]
[tex3]\overline{AC} = \sqrt{100\pi ^2} + \sqrt{100\pi ^2}[/tex3]
[tex3]\overline{AC}[/tex3] = 2 [tex3]\pi \sqrt{200}[/tex3]
[tex3]\overline{AC}[/tex3] =20 [tex3]\pi \sqrt{2}[/tex3]
Agora descobre a altura desse triangulo para calcular a área hachurada.
Estou no caminho certo?

[leozitz]

por que AB = 10pi ?

[evelysousa]

é a metade do comprimento da circunferencia.
C=2 [tex3]\pi [/tex3]*r
Como é a metade vai ser:
C=10 [tex3]\pi [/tex3]
O raio é 10cm veio informando na questão.

[petrasMOD]

evelysousa,

Veja que o triângulo ABC tem a mesma área que o triângulo OBC. Portanto a área pedida é a do setor OBC

[tex3]S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}.10.10 sen120^o =25\sqrt3= S_{\triangle OBC} = \frac{10^2{\sqrt3}}{4}\\
\therefore S_{setorOBC} = \frac{\pi r^2}{6}=\frac{100\pi}{6}=\boxed{\frac{50\pi}{3}} [/tex3]

[evelysousa]

Petras, nao entendi o calculo da área do triangulo ABC.

[petrasMOD]

evelysousa,
Área de um triângulo em função do seno. é uma fórmula básica ..