Ensino Superior ⇒ domínio e imagem das funções Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID: 26707)]

levando em consideração as funções a seguir:
g(x)=[tex3]\sqrt[3]{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}[/tex3]
f(x)=[tex3]\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}[/tex3]

Para todo x > 0 mostre que f(x) ≥ g(x).
Alguém poderia me ajudar com essa questão, please

[AnthonyC]

Seja a função [tex3]h[/tex3] definida como [tex3]f-g[/tex3]. Temos:
[tex3]h(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}-\(\sqrt[3]{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\)[/tex3]
[tex3]h(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt[3]{x}-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}[/tex3]
Vemos que [tex3]h(1)=0[/tex3]. Derivando:
[tex3]h'(x)={1\over 3 x^{4/3}} - {1\over 2 x^{3/2}} - {1\over 3 x^{2/3}} + {1\over 2 \sqrt x}[/tex3]
Temos que [tex3]h'(1)=0[/tex3]. Portanto [tex3]1[/tex3] é máximo ou mínimo.

• [tex3]0< x<1[/tex3]:

[tex3]\sqrt x>x^{3/2}[/tex3]
[tex3]2\sqrt x>2x^{3/2}[/tex3]
[tex3]{1\over 2\sqrt x}<{1\over2x^{3/2}}[/tex3]
[tex3]{1\over 2\sqrt x}-{1\over2x^{3/2}}<0[/tex3]

Analogamente:
[tex3]{1\over 3 x^{4/3}} - {1\over 3 x^{2/3}}<0[/tex3]

Logo:
[tex3]{1\over 3 x^{4/3}} - {1\over 2 x^{3/2}} - {1\over 3 x^{2/3}} + {1\over 2 \sqrt x}={1\over 3 x^{4/3}} - {1\over 3 x^{2/3}} + {1\over 2 \sqrt x}- {1\over 2 x^{3/2}}<0+0=0[/tex3]
Portanto, para [tex3]0< x<1[/tex3], [tex3]h'(x)<0[/tex3]

• [tex3]x>1[/tex3]:

[tex3]\sqrt x< x^{3/2}[/tex3]
[tex3]2\sqrt x<2x^{3/2}[/tex3]
[tex3]{1\over 2\sqrt x}>{1\over2x^{3/2}}[/tex3]
[tex3]{1\over 2\sqrt x}-{1\over2x^{3/2}}>0[/tex3]

Analogamente:
[tex3]{1\over 3 x^{4/3}} - {1\over 3 x^{2/3}}>0[/tex3]

Logo:
[tex3]{1\over 3 x^{4/3}} - {1\over 2 x^{3/2}} - {1\over 3 x^{2/3}} + {1\over 2 \sqrt x}={1\over 3 x^{4/3}} - {1\over 3 x^{2/3}} + {1\over 2 \sqrt x}- {1\over 2 x^{3/2}}>0+0=0[/tex3]
Portanto, para [tex3]x>1[/tex3], [tex3]h'(x)>0[/tex3].

Assim, a função é decrescente para [tex3]0< x<1[/tex3] e crescente para [tex3]x>1[/tex3]. Logo, [tex3]1[/tex3] é ponto de mínimo. Como [tex3]h(1)=0[/tex3], temos:
[tex3]h(x)\geq h(1)[/tex3]
[tex3]h(x)\geq0[/tex3]
[tex3]f-g\geq 0[/tex3]
[tex3]f(x)\geq g(x)[/tex3]