IME / ITA ⇒ (ITA - 1971) Trigonometria Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Seja [tex3]x \in (0;\frac{\pi}{2})[/tex3]. Qual afirmação é verdadeira?

a) [tex3]\frac{senx}{cosx}+\frac{cosx}{senx}\leq1[/tex3]
b) [tex3]\frac{senx}{cosx}+\frac{cosx}{senx}\leq2[/tex3]
c) [tex3]\frac{senx}{cosx}+\frac{cosx}{senx}\geq2[/tex3]
d) [tex3]\frac{senx}{cosx}+\frac{cosx}{senx}=2[/tex3]
e) nenhuma das respostas anteriores.

[John]

Note que

[tex3]\frac{sen x}{cos x} + \frac{cos x}{sen x} = \frac{sen^2x + cos^2x}{senxcosx} = \frac{1}{senxcosx} = \frac{2}{2senxcosx} = \frac{2}{sen(2x)}[/tex3].

Como [tex3]x \in (0, \frac{\pi}{2})[/tex3], então [tex3]0 < 2x < \pi[/tex3].

Se [tex3]0 < 2x < \pi[/tex3], segue que [tex3]0 < sen(2x) \leq 1[/tex3]. Então

[tex3]\frac{1}{sen(2x)} \geq 1[/tex3]

e assim,

[tex3]\frac{2}{sen(2x)} \geq 2[/tex3].

Portanto,

[tex3]\frac{sen x}{cos x} + \frac{cos x}{sen x} \geq 2[/tex3] para todo [tex3]x \in (0, \frac{\pi}{2})[/tex3].

Alternativa c).