Ensino Médio ⇒ Valores possíveis do Dividendo Tópico resolvido

[ArthurToso]

A soma de quatro termos de uma divisão inexata é igual a 479. Porém, esta soma será 2789 se o dividendo e o divisor forem multiplicados por 6. Com base nessas informações, a soma de todos os possíveis dividendos é um número igual a:

A) 854
B) 780
C) 830
D) 554
E) 645

Sem gabarito

[FelipeMartinMOD]

Vou começar:

[tex3]a = bc + d, 0 < d <b[/tex3]
[tex3]a+b+c+d = 479[/tex3]
[tex3]6a = 6bf + e, 0 \leq e < 6b [/tex3]
[tex3]6a+6b+f + e = 2789[/tex3]

[tex3]a+b+c+d = 479 \implies bc + d + b+c+d = 479 \implies (1+b)(1+c)-1 + 2d = 479[/tex3]
[tex3](1+b)(1+c) = 480 - 2d[/tex3], então, ou [tex3]b[/tex3] ou [tex3]c[/tex3] devem ser ímpar.

Podemos pensar em cotas superiores para [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] com a equação [tex3](1+b)(1+c) = 480 = 2 \cdot 240[/tex3], então, [tex3]239[/tex3] é uma cota superior tanto para [tex3]b[/tex3], como para [tex3]c[/tex3] e [tex3]1[/tex3] é uma cota inferior.

Porém se [tex3]b=1[/tex3], teríamos [tex3]0<d<1[/tex3]. Então [tex3]b[/tex3] é no mínimo [tex3]2[/tex3]. Logo, [tex3]c[/tex3] é no máximo [tex3]159[/tex3].

além disso, devemos ter [tex3]0 < 480 - (1+b)(1+c) < 2b \iff \frac{480 - 2b}{1+b} < 1+c < \frac{480}{1+b}[/tex3].

[FelipeMartinMOD]

a resposta não está completa.

O que é interessante na relação [tex3]\frac{480 - 2b}{1+b} < 1+c < \frac{480}{1+b}[/tex3] é que, quando [tex3]b>1[/tex3], temos [tex3]1 < \frac{480}{1+b} - \frac{480-2b}{1+b} <2[/tex3].

O que significa que para cada [tex3]b>1[/tex3], só existe um único valor possível pra [tex3]c[/tex3]

[leozitz]

[tex3]a = bc + d[/tex3] e [tex3]0 < d < b\implies 0<6d < 6b[/tex3]
[tex3]6a = 6bc + 6d[/tex3] agora a intuição diz que a gente precisa ter f = c e 6d = e, vamos provar isso

[tex3]\frac{a}{b}=c +\frac{d}{b}[/tex3]
[tex3]\frac{a}{b} = f + \frac{e}{6b}[/tex3]
[tex3]c +\frac{d}{b}=f + \frac{e}{6b}[/tex3]
[tex3]c-f = \frac{e}{6b}-\frac{6d}{6b}=\frac{e-6d}{6b}[/tex3]

[tex3]6b|e-6d[/tex3]
[tex3]0\le e < 6b\\
0>-6d > -6b[/tex3]
somando as duas coisa
[tex3]-6b < e - 6d < 6b[/tex3] mas o único multiplo de 6b nesse intervalo é o 0 então e = 6d e o resultado segue

e = 6d
f = c, vamos substituir no no que foi dado
[tex3]a + b + c + d = 479\implies 6(a +b+d) + 6c = 479\cdot6[/tex3]
[tex3]6a + 6b + c + 6d = 2789[/tex3]
com isso [tex3]5c=85\implies c = 17[/tex3]

agora o problema vira encontrar a soma de todo b que satisfaz
[tex3]a = 17b + d[/tex3] e [tex3]a + b + d =462 [/tex3]
[tex3]a = 17b + 462-b-a\\
2a = 16b + 462\iff a = 8b + 231\\
b =\frac{a-231}{8}[/tex3]

lembrando que [tex3]462-b-a < b[/tex3] ou seja [tex3]462-a < \frac{a-231}{4}[/tex3]

tenta terminar agora, acho que vc vai ter que escrever a = 7 + 8k e dai ficar com algo linear em k e ficar com a soma de n naturais consecutivos em um intervalo

[FelipeMartinMOD]

é bem isso, temos [tex3]a = 8b +231[/tex3]

e

[tex3]4 \cdot 462 - 4a < a -231 \iff 4 \cdot 462 + 231 < 5a \iff 415.8 < a[/tex3]

[tex3]416 \leq a \leq 460[/tex3] temos então 45 valores possíveis para [tex3]a[/tex3]. Dá pra testar na mão. Além disso:

[tex3]185 \leq a-231 \leq 229[/tex3]
quantos múltiplos de 8 temos nesse intervalo? apenas [tex3]5[/tex3]:

Os possíveis [tex3]b[/tex3] s são: [tex3]24, 25, 26, 27, 28[/tex3].

o que nos deixa com os seguintes [tex3]a[/tex3] s: [tex3]423, 431, 439, 447, 455[/tex3].

Só checar:

[tex3]423 = 17 *24 + 15[/tex3] [tex3]a=423, b=24, d=15 \implies a+b+d = 462[/tex3] ok
[tex3]431 = 17* 25 + 6[/tex3] [tex3]a=431, b=25, d=6 \implies a+b+d = 462[/tex3] ok
[tex3]439 = 17*25 + 14[/tex3] [tex3]a=439, b=25, d=14 \implies a+b+d = 478[/tex3] não ok
[tex3]447 = 17* 26 + 5[/tex3] [tex3]a=447, b=26, d=5\implies a+b+d = 478[/tex3] não ok
[tex3]455 = 17* 26 + 13[/tex3] [tex3]a=455, b=26, d=13 \implies a+b+d > 462[/tex3] não ok

pronto. Podemos ter apenas [tex3]a = 423[/tex3], ou [tex3]a = 431[/tex3] e a soma é:

[tex3]854[/tex3] letra A

[ArthurToso]

[tex3]a = bc + d[/tex3] e [tex3]0 < d < b\implies 0<6d < 6b[/tex3]
[tex3]6a = 6bc + 6d[/tex3] agora a intuição diz que a gente precisa ter f = c e 6d = e, vamos provar isso

[tex3]\frac{a}{b}=c +\frac{d}{b}[/tex3]
[tex3]\frac{a}{b} = f + \frac{e}{6b}[/tex3]
[tex3]c +\frac{d}{b}=f + \frac{e}{6b}[/tex3]
[tex3]c-f = \frac{e}{6b}-\frac{6d}{6b}=\frac{e-6d}{6b}[/tex3]

[tex3]6b|e-6d[/tex3]
[tex3]0\le e < 6b\\
0>-6d > -6b[/tex3]
somando as duas coisa
[tex3]-6b < e - 6d < 6b[/tex3] mas o único multiplo de 6b nesse intervalo é o 0 então e = 6d e o resultado segue

e = 6d
f = c, vamos substituir no no que foi dado
[tex3]a + b + c + d = 479\implies 6(a +b+d) + 6c = 479\cdot6[/tex3]
[tex3]6a + 6b + c + 6d = 2789[/tex3]
com isso [tex3]5c=85\implies c = 17[/tex3]

agora o problema vira encontrar a soma de todo b que satisfaz
[tex3]a = 17b + d[/tex3] e [tex3]a + b + d =462 [/tex3]
[tex3]a = 17b + 462-b-a\\
2a = 16b + 462\iff a = 8b + 231\\
b =\frac{a-231}{8}[/tex3]

lembrando que [tex3]462-b-a < b[/tex3] ou seja [tex3]462-a < \frac{a-231}{4}[/tex3]

tenta terminar agora, acho que vc vai ter que escrever a = 7 + 8k e dai ficar com algo linear em k e ficar com a soma de n naturais consecutivos em um intervalo

Boa tarde. Entendi perfeitamente, muito obriagado pela explicação!

[ArthurToso]

é bem isso, temos [tex3]a = 8b +231[/tex3]

e

[tex3]4 \cdot 462 - 4a < a -231 \iff 4 \cdot 462 + 231 < 5a \iff 415.8 < a[/tex3]

[tex3]416 \leq a \leq 460[/tex3] temos então 45 valores possíveis para [tex3]a[/tex3]. Dá pra testar na mão. Além disso:

[tex3]185 \leq a-231 \leq 229[/tex3]
quantos múltiplos de 8 temos nesse intervalo? apenas [tex3]5[/tex3]:

Os possíveis [tex3]b[/tex3] s são: [tex3]24, 25, 26, 27, 28[/tex3].

o que nos deixa com os seguintes [tex3]a[/tex3] s: [tex3]423, 431, 439, 447, 455[/tex3].

Só checar:

[tex3]423 = 17 *24 + 15[/tex3] [tex3]a=423, b=24, d=15 \implies a+b+d = 462[/tex3] ok
[tex3]431 = 17* 25 + 6[/tex3] [tex3]a=431, b=25, d=6 \implies a+b+d = 462[/tex3] ok
[tex3]439 = 17*25 + 14[/tex3] [tex3]a=439, b=25, d=14 \implies a+b+d = 478[/tex3] não ok
[tex3]447 = 17* 26 + 5[/tex3] [tex3]a=447, b=26, d=5\implies a+b+d = 478[/tex3] não ok
[tex3]455 = 17* 26 + 13[/tex3] [tex3]a=455, b=26, d=13 \implies a+b+d > 462[/tex3] não ok

pronto. Podemos ter apenas [tex3]a = 423[/tex3], ou [tex3]a = 431[/tex3] e a soma é:

[tex3]854[/tex3] letra A

Era exatamente essa parte da checagem que tinha me pego. Muito obrigado, consegui entender