Pré-Vestibular ⇒ (MAUA-SP) Geometria plana Tópico resolvido

[hcubasmachado]

No prolongamento do diâmetro [tex3]AB[/tex3] da circunferência de centro [tex3]O[/tex3] e raio [tex3]R[/tex3], marca-se o ponto [tex3]P[/tex3] tal que [tex3]PB = R[/tex3]. Pelo ponto [tex3]P[/tex3] traça-se uma reta que tangencia a circunferência no ponto [tex3]T[/tex3]. A área do triângulo [tex3]PAT[/tex3], em função de [tex3]R[/tex3], é:

a) (3R ^ 2 *\sqrt(3))/4
b) 2R ^ 2 *\sqrt(3)
c) (R ^ 2 *\sqrt(3))/4
d) 5R ^ 2 *\sqrt(3)
e) 3R ^ 2

Resposta

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Resposta:letra a)

[petrasMOD]

hcubasmachado,


[tex3]PT^2=PB(PA) = R(3R) \therefore PT = R\sqrt3\\
S {\triangle_{ POT(ret.)}}: \frac{R\sqrt3.R}{2}=\frac{R^2\sqrt3}{2}\\
cos\angle POT=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}\implies \angle POT = 60^o \therefore \angle AOT = 180 - 60 = 120^o\\
S\triangle _{AOT}=\frac{1}{2}sen120^o . R.R=\frac{R^2\sqrt3}{4} \\
S\triangle_{ PAT}= S\triangle _{AOT}+S\triangle_{ POT} =\frac{R^2\sqrt3}{4}+\frac{R^2\sqrt3}{2}=\boxed{\frac{3R^2\sqrt3}{4}}[/tex3]