Olimpíadas ⇒ Sistemas-Questão do Livro Tópicos de Matemática Elementar Tópico resolvido

[golondrina]

Para x>0 real prove que x+[tex3]\frac{4}{x} \geq 4[/tex3]. Em seguida, utilize esse fato para resolver no conjunto dos reais positivos o sistema de equações
[tex3]\begin{cases}
x+\frac{4}{y}=\frac{5y}{4} \\
y+\frac{4}{z}=\frac{5z}{4} \\
z+\frac{4}{x}=\frac{5x}{4}
\end{cases}[/tex3]

[leozitz]

algo estranho é que o caso de igualdade da desigualdade é x = 4/x, ou seja, x = 2 enquanto x = y = z = 4 é uma solução do sistema, vou continuar pensando aqui

[golondrina]

@leozitz pois é, eu notei isso também. Mas mesmo tentando usar x+x/16, que seria tipo análogo, eu não consegui. tentei fazer sem usar a desigualdade que ele dá no problema, mas também não deu muito certo.

[leozitz]

acho que sem usar a desigualdade fica mais fácil
[tex3]4xy + 16 = 5y^2[/tex3]
[tex3]4yz + 16 = 5z^2[/tex3]
[tex3]4zx + 16 = 5x^2[/tex3]
ai agora se a gente subtrair a gente cancela o 16 e fica com uma diferença de quadrados
[tex3]5z^2-5x^2 = 4yz-4zx[/tex3]
[tex3]5y^2-5x^2=4xy-4xz[/tex3]
[tex3]5z^2-5y^2=4yz-4xy[/tex3]
multiplicando tudo
[tex3]5^3(x+y)(y+z)(z+x)(z-x)(y-x)(z-y)=\\
4^3z(y-x)x(y-z)y(z-x)[/tex3]
vamos supor que eles são distintos e chegar em uma contradição
[tex3]5^3(x+y)(y+z)(z+x) = -4^3xyz[/tex3] então o lado esquerdo é > 0 e o direito é < 0
ai pelo menos 2 deles são iguais
dai pegando uma equação vc ve que eles devem valer 4
somando tudo do jeito original a gente fica com algo simetrico e ai a gente pode supor sem perda de generalidade que y = z = 4 e depois descobrir o valor de x

pra gente conseguir resolver isso com desigualdade a gente precisaria encontrar
a <= alguma coisa <= a e dai resolver mas n vejo como fazer isso

[leozitz]

somando tudo do jeito original a gente fica com algo simetrico e ai a gente pode supor sem perda de generalidade que y = z = 4 e depois descobrir o valor de x

na verdade, nessa parte eu n tenho certeza se isso está totalmente correto
já que a gente tem que
[tex3]sistema\implies soma ~do~sistema[/tex3], então talvez vc não pode supor que tem 2 iguais já que mesmo que aqui seja algo simetrico, o sistema não é.
por sorte que, se a gente resolver, a gente descobre que todas tem que ser igual a 4, ai n importa qual par de variaveis a gente começa supondo que são iguais, mas ainda assim vc precisa ver se todo mundo = 4 é solução original do sistema