Pré-Vestibular ⇒ UFSC 2019.1 - Função Polinomial Tópico resolvido

[jomano]

Como esboçar a função f(x) = x³-x²+36x-92

sem saber o valor de nenhuma das raízes? A questão afirma que há ao menos uma raiz real positiva no gráfico, mas como saber?
Eu sei que terá ao menos uma raiz real pelo teorema das raízes complexas, mas como saber se ele é positivo?
Sei também que o ponto de corte no eixo y será -92, mas como prosseguir a partir daí?

[leozitz]

acho que tem um teorema sobre os sinais dos coeficientes, mas um jeito de resolver no caso particular é ver que
f(0) = -92 < 0 e que o coeficiente lider é positivo, então para valores grandes de x temos f(x) > 0
com isso como f é continua deve passar por 0 em algum momento quando x está em (0, +infinito), oou seja, temos uma raiz positiva

o teorema q falei é a regra dos sinais de descartes
A diferença entre o número de variações de sinal e o número de raízes positivas de um polinômio com coeficientes reais é um inteiro positivo par.

a gente tem 3 variações de sinais e dai a gente precisa de pelo menos uma raiz positiva para o resultado ser par, pq se a gente não tivesse nenhuma (0 raizes positivas)
3 - 0 = 3 é ímpar