Ensino Médio ⇒ Combinação com repetição de elementos finitos Tópico resolvido

[ludwing]

Quantos grupos de 3 bolinhas é possível formar a partir de 4 bolinhas da cor amarela(A), 3 da cor verde(V), 2 da cor azul(a) e 1 da cor vermelha(v)?

Consegui resolver do testando todas as possibilidades desse modo: AAA, AAV, AAa... até achar 14 grupos.

O problema é que não achei nenhum raciocínio do tipo nos livros e apostilas que estou usando e nem na internet, só percebi que se trata de uma combinação com repetição (apesar da fórmula de combinação com repetição não funcionar). Gostaria de saber se tem alguma fórmula ou método mais simples, pois esse exemplo foi o mais simples que consegui pensar, logo não faço ideia de como resolveria se fosse formar pacotinhos maiores com mais opções de cores.

[LeoJaques]

Olá.

Devido ao pouco número de bolinhas existem muitas restrições, por exemplo, só podemos pegar 1 bola de cor vermelha, mas podemos pegar 3 bolas amarelas, fica mt trabalhoso trabalhar com equações e eu acho que o jeito mais fácil ainda seria fazer a contagem.

Mas pense em um caso diferente:
Quantos grupos de 4 bolinhas é possível formar a partir de 7 bolinhas da cor amarela(A), 5 da cor verde(V), 4 da cor azul(a) e 3 da cor vermelha(v)?
(Obs: as bolas apenas se diferenciam pela cor)

Seja:
x: número de bolinhas amarelas
y: número de bolinhas verdes
z: número de bolinhas azuis
k: número de bolinhas vermelhas

Em um grupo, devemos ter: x + y + z + k = 4, pelo método das bolas e divisorias, a equação tem 8!(4!4!) = 70 soluções. Porém contamos um caso absurdo quando k = 4(só temos 3 bolas vermelhas), logo devemos retirá-lo, portanto temos 70 - 1 = 69 grupos.