Concursos Públicos ⇒ [FUVEST 2013 - ANALISTA ASSUNTOS ADM - USP] Número mínimo de candidatos Tópico resolvido

[Rmtorrieli]

Em um concurso, a prova de conhecimentos gerais consiste em 10 questões para as quais se deve responder “verdadeiro” ou “falso”. Para que se tenha obrigatoriamente pelo menos três candidatos com a mesma sequência de respostas nessa prova, o número mínimo de candidatos nesse concurso deve ser

a) 1024
b) 1025
c) 2048
d) 2049
e) 3072

Resposta

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D

[joaopcarvMOD]

Rmtorrieli, boa noite.

Nesta questão, aplicaremos o princípio da casa dos pombos duas vezes. Esse princípio funciona para contagens críticas.

Generalizando o conceito, seja um contexto consistente de [tex3]\mathsf{n}[/tex3] possibilidades distintas. Se, para [tex3]\mathsf{n}[/tex3] pessoas, cada qual tiver que selecionar uma (e nesse caso, apenas uma) das [tex3]\mathsf{n}[/tex3] das possibilidades totais, no cenário de maior "espalhamento", ou seja, no "pior" cenário, cada uma das [tex3]\mathsf{n}[/tex3] pessoas pode acabar escolhendo cada uma das [tex3]\mathsf{n}[/tex3] possibilidades distintas, ficando então justamente uma pessoa distinta para um contexto distinto.

Claro que há a possibilidade de todas as combinações de repetição de contextos, mas é por isso que digamos que o caso em que há uma injeção de uma pessoa para um contexto de forma unívoca é o "pior", ou mais crítico, caso.

Se meu interesse for contar quantas pessoas são necessárias para que pelo menos uma possibilidade seja escolhida mais de uma vez, se com [tex3]\mathsf{n}[/tex3] pessoas eu posso ter o "espalhamento" máximo que garante uma pessoa para um contexto, basta eu ter [tex3]\mathsf{n \ + \ 1}[/tex3] pessoas escolhendo que eu garanto pelo menos uma repetição. Criticamente, as "[tex3]\mathsf{n}[/tex3] primeiras" podem escolher sua possibilidade de forma exclusiva, mas a última restante vai ter que escolher uma possibilidade que já foi obrigatoriamente escolhida neste cenário.

Indo ao post em si, cada questão é supostamente única/diferente e admite duas respostas possíveis, [tex3]\mathsf{V|F}[/tex3], de forma que temos:

[tex3]\mathsf{T \ = \ \underbrace{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot (...) \cdot 2}_{10 \ vezes}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{T \ = \ 2^{10}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{T \ = \ 1024}[/tex3] sequências de respostas possíveis.

Para o caso crítico, podemos ter [tex3]\mathsf{1024}[/tex3] pessoas, cada uma fazendo uma das [tex3]\mathsf{1024}[/tex3] sequências possíveis. Pegando mais um grupo de [tex3]\mathsf{1024}[/tex3] pessoas, essas mais uma vez podem escolher uma das [tex3]\mathsf{1024}[/tex3] sequências. Aqui, contando o cenário mais "espalhado", cada sequência tem duas pessoas. Pegando mais uma pessoa, garantimos que pelo menos mais uma sequência vai ter mais uma pessoa, contando uma sequência com [tex3]\mathsf{3}[/tex3] candidatos.

Ou seja, para que obrigatoriamente pelo menos [tex3]\mathsf{3}[/tex3] candidatos façam a mesma sequência, necessitamos de [tex3]\mathsf{n \ = \ 2 \cdot T \ + \ 1 \ \therefore}[/tex3]

[tex3]\mathsf{n\ = \ 2048 \ + \ 1}[/tex3]

[tex3]\boxed{\mathsf{n \ = \ 2049 \ candidatos}}[/tex3]

[Rmtorrieli]

@joaopcarvMOD , muitíssimo obrigada pela ajuda!
Ótima explanação!