Olimpíadas ⇒ Soma e Produto Tópico resolvido

[PNL123]

Considere todos os produtos por [tex3] 2, 4, 6, .......... 2.000 [/tex3] dos elementos do conjunto [tex3]A= {\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4},......\frac{1}{2000}, \frac{ 1}{2001}}. [/tex3] Encontre a soma de todos esses produtos.
[tex3]a) 499\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]b) 499\frac{1000}{2001}[/tex3]
[tex3]c) 499\frac{1001}{2001}[/tex3]
[tex3]d) 500\frac{1000}{2001}[/tex3]
[tex3]e) 500\frac{1001}{2001}[/tex3]

NÃO ESTOU ENTENDO A PERGUNAT. Alguém pode me ajudar?
obs: questão 811 do livro: Problema Selecionados da Matemática

[petrasMOD]

O problema pede a soma de todos os produtos de subconjuntos de A que têm um número par de elementos (2, 4, 6, ..., 2000).

O texto produtos por 2,4,6,...,2000 dos elementos do conjunto A não significa multiplicar o conjunto inteiro por 2, depois por 4, etc.
Significa considerar os produtos de 2, 4, 6, ..., 2000 elementos do conjunto — isto é, subconjuntos de A com número par de elementos.

produtos por 2= produtos tomados 2 a 2
produtos por 4= produtos tomados 4 a 4
assim até 2000 elementos (como A tem 2000 elementos)


O conjunto é:
[tex3]A = \left\{ x_1, x_2, \ldots, x_{2000} \right\}, \quad \text{onde } x_k = \frac{1}{k+1}[/tex3]
[tex3]A = \left\{ \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots, \frac{1}{2001} \right\}[/tex3]

Onde A possui n=2000 elementos.

Seja [tex3]E_{\text{par}}[/tex3] a soma dos produtos simétricos elementares de ordem par de um conjunto de números [tex3]\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}[/tex3]. A identidade é dada por:
[tex3]S = E_{\text{par}} = \frac{1}{2}\left[ \prod_{i=1}^{n}(1 + x_i) + \prod_{i=1}^{n}(1 - x_i) \right][/tex3]

No nosso caso, [tex3]x_i = \frac{1}{i+1}[/tex3] para i de 1 a 2000.

Calculando o Primeiro Produto [tex3]\prod_{i=1}^{2000}(1 + x_i)[/tex3]

[tex3]P_1 = \prod_{i=1}^{2000} \left(1 + \frac{1}{i+1}\right) = \prod_{i=1}^{2000} \frac{i+2}{i+1}[/tex3]
Este é um produto telescópico:
[tex3]P_1 = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4} \cdots \frac{2001}{2000} \cdot \frac{2002}{2001}[/tex3]
Após o cancelamento dos termos intermediários:
[tex3]P_1 = \frac{2002}{2} = 1001[/tex3]

Calculando o Segundo Produto [tex3]\prod_{i=1}^{2000}(1 - x_i)[/tex3]

[tex3]P_2 = \prod_{i=1}^{2000} \left(1 - \frac{1}{i+1}\right) = \prod_{i=1}^{2000} \frac{i}{i+1}[/tex3]
Este também é um produto telescópico:
[tex3]P_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdots \frac{1999}{2000} \cdot \frac{2000}{2001}[/tex3]
Após o cancelamento dos termos intermediários:
[tex3]P_2 = \frac{1}{2001}[/tex3]

Calculando a Soma Final (S)

Substituímos [tex3]P_1[/tex3] e [tex3]P_2[/tex3] na fórmula da soma dos produtos pares:
[tex3]S = \frac{1}{2}\left[ P_1 + P_2 \right] = \frac{1}{2}\left( 1001 + \frac{1}{2001} \right)[/tex3]

Colocamos a soma em uma única fração com o denominador [tex3]2 \cdot 2001 = 4002[/tex3]:
[tex3]S = \frac{1001 \cdot 2001 + 1}{2 \cdot 2001} = \frac{2003001 + 1}{4002} = \frac{2003002}{4002}[/tex3]
[tex3]S = \frac{2003002 \div 2}{4002 \div 2} = \frac{1.001.501}{2001}[/tex3]

[tex3]\frac{1.001.501}{2001} = \frac{(1.000.500 + 1001)}{2001} = \frac{1.000.500}{2001} + \frac{1001}{2001}[/tex3]
[tex3]1.000.500 \div 2001 = \frac{500 \times 2001}{2001} = 500[/tex3]
Substituindo de volta:
[tex3]S = 500 + \frac{1001}{2001} = 500 \frac{1001}{2001}[/tex3]

A resposta corresponde exatamente à opção (e).

[tex3]\boxed{\text{e) } 500\frac{1001}{2001}}[/tex3]

(Solução:net)