Ensino Médio ⇒ combinatoria festa casais Tópico resolvido

[neonexe]

No início de uma festa há 6 rapazes desacompanhados e 10 moças desacompanhadas. Quantos são os estados possíveis no fim da festa?

Resposta

---

Resp.: 424.051

[petrasMOD]

neonexe,

Sem casais : 1
1: casal 6 x 10 = 60
2: casais (6x10) x (5x9) / 2 = 1.350
3 : 1350 x (4x8) / 3 = 14.400 (fica mais fácil assim, pois os cálculos anteriores são iguais aos de cima)
4 : 14.400 x (3x7) / 4 = 75.600
5 : 75.600 x (2x6) / 5 = 181.440
6 : 181.440 x (1x5) / 6 = 151.200
Portanto: 424.051
(Solução:PauloTestoni)

[neonexe]

Olá, por qual motivo deve-se dividir por 2 no caso do casal 2 etc?

[neonexe]

Encontrei em um site que parece estar em desativação a seguinte resolução:

[tex3]\sum_{k=0}^6\left(\begin{array}{l}6 \\ k\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}10 \\ k\end{array}\right) k ![/tex3]

Porém não sei se compreendi. De 6 homens, vamos escolher k e de 10 mulheres vamos escolher k. Então se k=0, ninguém fez casal. Se k=1, formou um casal. Se k=2, foram formados dois casais. Até aí ok, mas e esse k! ? O que ele está fazendo ali? É por causa que, por exemplo no caso k=2, estamos falando de 2M e 2H (homens e mulheres) e os elementos dentro dos pares podem ser permutados? Isso não acabaria no caso de um casal de H1, H2, por exemplo? (Assumindo que nesse exercício não esteja contando casais homossexuais)

[petrasMOD]

neonexe,

Segue uma solução detalhada.

Primeiramente vamos supor (de maneira ortodoxa) que possam ser formados apenas casais heterossexuais. Assim, os casos possíveis são:
Não foram formados casais: 1 possibilidade nesse caso.
Formou apenas 1 casal: teremos 6 possibilidades para a escolha do rapaz e 10 possibilidades para a escolha da moça e, assim, 6 · 10 = 60 possibilidades nesse caso.
Formaram-se dois casais: teremos 6 possibilidades para a escolha do rapaz do primeiro casal, 10 possibilidades para a escolha da moça do primeiro casal, 5 possibilidades para a escolha do rapaz do segundo casal e 9 possibilidades para a escolha
da moça do segundo casal. Entretanto, percebemos um desprezo de ordem entre os casais, ou seja, os casais formados {h1, m1} e {h2, m2} representam a mesma possibilidade de formação dos casais {h2, m2} e {h1, m1}. Logo, teremos [tex3]\frac{6 · 5 · 10 · 9}{2!} = 1.350[/tex3]possibilidades nesse caso.
Formaram-se três casais: 6 possibilidades para o homem do primeiro casal; 10,para a mulher do primeiro casal; 5, para o homem do segundo casal; 9, para a mulher do segundo casal; 4, para o homem do terceiro casal e 8, para a mulher do terceiro casal. Devido ao desprezo de ordem entre os 3 casais formados, teremos [tex3]\frac{6 · 5 · 4 · 10 · 9 · 8}{3!} = 14.440[/tex3] possibilidades nesse caso.
Formaram-se quatro casais: 6 possibilidades para o homem do primeiro casal; 10,para a mulher do primeiro casal; 5, para o homem do segundo casal; 9, para a mulher do segundo casal; 4, para o homem do terceiro casal ; 8, para a mulher do terceiro
casal; 3, para o homem do quarto casal e 7, para a mulher do quarto casal. Devido ao desprezo de ordem entre os 4 casais formados, teremos[tex3] \frac{6 · 5 · 4 · 3 · 10 · 9 · 8 · 7}{4!} =75.600[/tex3] possibilidades nesse caso.
Formaram-se cinco casais: 6 possibilidades para o homem do primeiro casal; 10,para a mulher do primeiro casal; 5, para o homem do segundo casal; 9, para a mulher 34 do segundo casal; 4, para o homem do terceiro casal ; 8, para a mulher do terceiro
casal; 3, para o homem do quarto casal; 7, para a mulher do quarto casal; 2, para o homem do quinto casal e 6, para a mulher do quinto casal. Devido ao desprezo de ordem entre os 5 casais formados, teremos [tex3]\frac{6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 10 · 9 · 8 · 7 · 6}{5!} = 181.440[/tex3] possibilidades nesse caso.
Formaram-se seis casais: 6 possibilidades para o homem do primeiro casal; 10, para a mulher do primeiro casal; 5, para o homem do segundo casal; 9, para a mulher do segundo casal; 4, para o homem do terceiro casal; 8, para a mulher do terceiro
casal; 3, para o homem do quarto casal; 7, para a mulher do quarto casal; 2, para o homem do quinto casal; 6, para a mulher do quinto casal; 1, para o homem do sexto casal e 5, para a mulher do sexto casal. Devido ao desprezo de ordem entre os 6 casais
formados, teremos[tex3]\frac{ 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 · 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5}{6!} = 151.200[/tex3] possibilidades nesse caso.
Portanto, existem 1 + 60 + 1.350 + 14.400 + 75.600 + 181.440 + 151.200 = 424.051 estados possíveis ao final da festa.
(Soluçõa:RigelAlves)