Concursos Públicos ⇒ (Quadrix 2018) Geometria Espacial Tópico resolvido

[nicolasbaggio]

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A figura acima apresenta um cone reto de raio da base R em que está inscrita uma esfera que intercepta a lateral do cone em uma circunferência de raio r. O ponto C é o centro da base do cone e tangente à esfera. Os pontos A e B estão localizados em uma mesma geratriz do cone, em que A pertence à circunferência de raio r e B, à circunferência de raio R.

Com base nessa situação hipotética, julgue os itens que se seguem.
O raio da esfera vale [tex3]\dfrac{R\sqrt{r}}{\sqrt{2R-r}}[/tex3].

Resposta

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Gabarito Certo

[petrasMOD]

nicolasbaggio,

[tex3]DB=R−r\\
△ADB:h^2+(R−r)^2=R^2 \implies h=\sqrt{r(2R−r)}(1)\\
△VTA∼△ADB \implies \frac{VA}{VT}=\frac{R}{h}(2)\\
\triangle VAO \sim \triangle VTA \implies \frac{r_e}{r}=\frac{VA}{VT}\\
De(2): \frac{r_e}{r}=\frac{R}{h}\implies re=\frac{rR}{h}=\frac{rR}{\sqrt{r(2R-r})}=\frac{rR}{\sqrt r(\sqrt{2R-r})}\\
\therefore \boxed{r_e=\frac{R\sqrt r}{\sqrt{2R-r}}}[/tex3]
(Solução:JohnOmilean)