IME / ITA ⇒ (EPCAR - 1999) Trigonometria Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Se [tex3]A=2^{(senx+cosx)^2}[/tex3], então o valor máximo de [tex3]A[/tex3] é

a) [tex3]1[/tex3].
b) [tex3]\sqrt{2}[/tex3].
c) [tex3]2[/tex3].
d) [tex3]4[/tex3].

[Natan]

Oi,

a potência será máxima quando o expoente for máximo, derivando então o expoente:

[tex3]y^{'}=2(\sen x +\cos x )(\cos x -\sen x )=2(-\sen^2x+\cos^2x)=-2\sen^2x+2[/tex3]

Igualando a zero:

[tex3]2\sen^2x=2 \\ \sen x = \pm 1[/tex3]

Substituindo na expressão:

[tex3]\begin{cases} \sen x =1 \Rightarrow 2^{(1+0)^2}=2 \\ \sen x =-1 \Rightarrow 2^{(-1+0)^2}=2\end{cases}[/tex3]

Letra [tex3]\boxed{c}[/tex3]

[John]

Note que [tex3](cosx + senx)^{2} = 1 + 2senxcosx = 1 + sen(2x)[/tex3].

Como [tex3]\frac{}{}-1 \leq sen(2x) \leq 1[/tex3], então [tex3]0 \leq 1 + sen(2x) \leq 2[/tex3]. Assim,

[tex3]2^{0} \leq 2^{1 + sen(2x)} \leq 2^{2}[/tex3]

Logo o maior valor de [tex3]2^{(senx + cosx)^{2}}[/tex3] é 4, note que este valor é atingido para [tex3]x = \frac{\pi}{4}[/tex3].

Alternativa D).