Ensino Superior ⇒ Geometria Analítica - Vetores paralelos e Módulo de vetores Tópico resolvido

[Galeano115]

Sejam o ponto A(3,2,1) e o vetor [tex3]\vec{\mu }[/tex3](4,-2,4).
Encontre um ponto D tal que [tex3]\vec{AD}[/tex3]||[tex3]\vec{\mu }[/tex3] e |[tex3]\vec{AD}[/tex3]|=12.

[FMiranda]

Temos as seguintes informações:
1) A(3,2,1)
2) [tex3]\vec \mu =(4, -2, 4) [/tex3]
3) [tex3]\vec {AD} ||\vec \mu[/tex3], logo [tex3]\vec {AD}=\beta \vec\mu[/tex3], sendo [tex3]\beta [/tex3] uma constante [tex3]\in \mathbb{R}[/tex3]
4) [tex3]|\vec {AD}|=12[/tex3]

Queremos saber o ponto [tex3]D(x,y,z)[/tex3]

Primeiro Passo:

[tex3]\vec {AD}=D-A =(x,y,z)-(3,2,1)=> \vec {AD} =(x-3,y-2,z-1) [/tex3]
[tex3]\vec {AD}=\beta \vec \mu => \vec {AD}=(4\beta,-2\beta,4\beta)[/tex3]
Logo temos que [tex3]\vec {AD}=(4\beta,-2\beta,4\beta) = (x-3,y-2,z-1)[/tex3]
i) [tex3]4\beta=x-3[/tex3]
ii) [tex3]-2\beta=y-2[/tex3]
iii) [tex3]4\beta=z-1[/tex3]

Segundo Passo:
[tex3]|\vec {AD}|=12 =\sqrt{(x-3)^{2}+(y-2)^{2}+(z-1)^{2}}=\sqrt{(4\beta^{2})+(-2\beta^{2})+(4\beta^{2})}[/tex3]
[tex3]\sqrt{16\beta^{2}+4\beta^{2}+16\beta^{2}}=12=>\sqrt{36\beta^{2}}=12=>6\beta=12 =>\beta=2[/tex3]

Ultimo Passo:
Como [tex3]\beta=2[/tex3]
e
i) [tex3]4\beta=x-3=>x=11[/tex3]
ii) [tex3]-2\beta=y-2=>y=-2[/tex3]
iii) [tex3]4\beta=z-1=>z=9[/tex3]
Logo [tex3]D(x,y,z)=D(11,-2,9)[/tex3]