Ensino Superior ⇒ Matemática Discreta - Função quadrática Tópico resolvido

[JayHardway]

Verifique que a função quadrática definida por: f(x)= (2/a).x^2 - (2/h).x + 1/b possui pelo menos um zero. Se a e b são medidas dos catetos de um triângulo retângulo em que h é a medida da altura relativa à hipotenusa.

Se puderem explicar da forma mais didaticamente possível, agradeceria muito.

[petrasMOD]

JayHardway,
Utilizando as relações métricas:
[tex3] (I): ab = hc \implies \frac{1}{h^2} = \frac{c^2}{a^2b^2}\\
(II): c^2 = a^2 + b^2\\
De (I) e (II): \frac{1}{h^2} = \frac{(a^2+b^2)}{a^2b^2}\\
\Delta \geq 0(\text{pelo menos uma raiz)}:\\
(\frac{2}{h})^2 - 4.(\frac{2}{a}).(\frac{1}{b}) \geq 0 \implies \frac{1}{h^2} \geq \frac{2}{ab} ↔ \frac{(a^2+b^2)}{a^2b^2} \geq \frac{2}{ab} ↔\underbrace{ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2}_{*}\\
^* \text{Prova que a desigualdade é verdadeira}\\Seja \frac{a}{b} = x \implies x + \frac{1}{x} \geq 2 ↔ x^2 + 1 \geq 2x ↔ x² - 2x + 1 ≥ 0 ↔ (x - 1)^2 ≥ 0 \color{green} \checkmark [/tex3]
(Solução:RobsonJr)

Outra solução
Condição: [tex3]\Delta \geq 0[/tex3]

[tex3]∆ = \frac{4}{h}^2 - \frac{8}{(ab)} = 4(\frac{1}{h^2} - \frac{2}{(ab)})
\\
\frac{1}{h^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}\\
∆ = 4(\frac{1}{a}^2 + \frac{1}{b^2} - \frac{2}{(ab)})\ = 4(\frac{1}{a} - \frac{1}{b})^2 \geq 0\\
4.(0~ou (+)) \geq 0[/tex3],
∴ possui pelo menos um zero.

[JayHardway]

Muito obrigado, de verdade mesmo. Sinto que ainda tenho muito a aprender, pois mesmo olhando a solução, ainda fico perdido no passo a passo, mas vou me dedicar a entender a questão nesses dias que se seguem.

Um abraço!

[petrasMOD]

JayHardway,

Aqui você precisa saber:
1:Quando uma função possui raizes
2: As relaçoes métricas no triângulo retângulo
3: Álgebra: saber manipular uma inequação; produtos notáveis

[JayHardway]

JayHardway,

Aqui você recisa saber:
1:Quando uma função possui raizes
2: As relaçoes métricas no triângulo retângulo
3: Álgebra: saber manipular uma inequação; produtos notáveis

Já comecei a pegar na massa aqui, fico muito agradecido pela sua humildade em me dar um direcionamento