Ensino Superior ⇒ Estatística Demonstração Variância

[RafaZVZ]

Alguém para me ajudar na demonstração dessa fórmula :

[tex3]\sigma ^{2}= \frac{\sum xi^{2}}{n}-\mu ^{2}[/tex3]

[RafaZVZ]

@RafaZVZ


[tex3]
\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \mu^2
[/tex3]

onde:

* [tex3]x_i[/tex3] são os valores da população,
* n é o número de elementos,
* [tex3]\mu[/tex3] é a média populacional, ou seja [tex3]\mu = \frac{\sum x_i}{n}[/tex3]


Definição da variância populacional

Por definição:

[tex3]
\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \mu)^2}{n}
[/tex3]

Expanda [tex3](x_i - \mu)^2[/tex3]:

[tex3]
(x_i - \mu)^2 = x_i^2 - 2x_i\mu + \mu^2
[/tex3]

Portanto:

[tex3]
\sigma^2 = \frac{\sum (x_i^2 - 2x_i\mu + \mu^2)}{n}
[/tex3]

Separar as somas

[tex3]
\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \frac{2\mu \sum x_i}{n} + \frac{\sum \mu^2}{n}
[/tex3]

O primeiro termo fica como está:

[tex3]
\frac{\sum x_i^2}{n}
[/tex3]

Para o segundo termo, note que [tex3]\sum x_i = n \mu:[/tex3]

[tex3]
- \frac{2\mu (n\mu)}{n} = -2\mu^2
[/tex3]

Para o terceiro termo, como [tex3]\mu^2[/tex3] é constante, soma-se n vezes:

[tex3]
\frac{n \mu^2}{n} = \mu^2
[/tex3]


[tex3]
\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - 2\mu^2 + \mu^2
[/tex3]

[tex3]
\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \mu^2
[/tex3]

**Demonstrado!**