Ensino Médio ⇒ Retângulo e razão entre raios Tópico resolvido

[geobson]

Na figura, UN=NI. Determine [tex3]\frac{r1}{r2}[/tex3].
A)[tex3]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]
B)[tex3]\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex3]
C)[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]
D)[tex3]\frac{3}{4}[/tex3]
E)N.D.A

Resposta

---

B

[FelipeMartinMOD]

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Na figura, repare que [tex3]\angle NFO = \angle NCO = 90^{\circ} \implies FONC[/tex3] é retângulo. Mas, [tex3]NO[/tex3] é bissetriz do [tex3]\angle CNF[/tex3], logo, [tex3]OCNF[/tex3] é um quadrado e [tex3]NC = OC = r_2[/tex3].

Analogamente, [tex3]ADOE[/tex3] é quadrado, logo, [tex3]AD = OE = r_2[/tex3]. Por fim, note que [tex3]UD = UC[/tex3] por Pitot.

Portanto, [tex3]UA = UD+DA = UD + r_2 = UC + r_2 = UC + CN = UN[/tex3]. Pronto.

[tex3]UI = 2UN = 2UA \implies \angle AUI = 60^{\circ}[/tex3]

é trivial que [tex3]r_1[/tex3] é o inraio do [tex3]\triangle BNI[/tex3], donde:

[tex3]\frac{r_1}{r_2} = \frac{NI}{IA} = \frac{IU}{2IA} = \frac1{\sqrt3}[/tex3]

[geobson]

FelipeMartin,obrigado!

[geobson]

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