Demonstrações ⇒ Demonstração - Lema dos ângulos retos na corda do incírculo

[FelipeMartinMOD]

Dado o [tex3]\triangle ABC[/tex3]; seja [tex3]O[/tex3] o seu incentro, sejam [tex3]D,E[/tex3] e [tex3]F[/tex3] os pontos de contato de seu incírculo com os lados [tex3]BC, AC[/tex3] e [tex3]AB[/tex3] respectivamente, seja [tex3]G[/tex3] o pé da altura de [tex3]B[/tex3] em relação à bissetriz interna do vértice [tex3]C[/tex3] no [tex3]\triangle ABC[/tex3]; então [tex3]G,E[/tex3] e [tex3]F[/tex3] são colineares.

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Prova:

Sejam [tex3]a := \angle BAC, b := \angle ABC[/tex3] e [tex3]c := \angle ACB[/tex3]. Como o [tex3]\triangle FAE[/tex3] é [tex3]A-[/tex3] isósceles (por Pitot), então [tex3]\angle AFE = 90^{\circ} - \frac a2[/tex3].

Repare que [tex3]\angle BOC = 180^{\circ} - \frac{(b+c)}2 = 180^{\circ} - \frac{(180^{\circ}-a)}2 = 90^{\circ} + \frac a2[/tex3]

logo [tex3]\angle BOG = 90^{\circ} - \frac a2[/tex3] (suplementar ao [tex3]\angle BOC[/tex3]), portanto [tex3]\angle GBO = \frac a2[/tex3].

Note que [tex3]BGFO[/tex3] é cíclico, pois [tex3]\angle BGO = \angle BFO = 90^{\circ}[/tex3], logo [tex3]\angle GFB = \angle GOB = 90^{\circ} - \frac{a}2 = \angle AFE [/tex3], logo [tex3]E,F[/tex3] e [tex3]G[/tex3] são alinhados.

Este resultado é conhecido como o lema dos ângulos retos na corda do incírculo.

Pode-se mostrar, ainda, que [tex3]G[/tex3] está na reta suporte da base média relativa ao vértice [tex3]C[/tex3] do [tex3]\triangle ABC[/tex3]:

Sejam [tex3]M[/tex3] e [tex3]N[/tex3] os pontos médios de [tex3]BC[/tex3] e [tex3]AB[/tex3] respectivamente e seja [tex3]G' = MN \cap CI[/tex3]. Note que [tex3]\angle G'CD = \frac{\angle B}2[/tex3] e, como [tex3]MN \parallel AC[/tex3], [tex3]\angle CMG' = 180^{\circ} - \angle B[/tex3], logo [tex3]\angle CG'M = \frac{\angle B}2[/tex3] e então [tex3]BM = CM = MG'[/tex3], logo [tex3]M[/tex3] é circuncentro do [tex3]\triangle BCG'[/tex3] e então [tex3]\angle BG'C = 90^{\circ}[/tex3], logo [tex3]G=G'[/tex3].

[geobson]

Aplicações desse teorema:
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[geobson]

Aplicação desse teorema:

viewtopic.php?t=89055

[geobson]

Aplicação deste teorema :
viewtopic.php?p=261088#p261088

[geobson]

Aplicação deste teorema
viewtopic.php?f=3&t=105801

[geobson]

Aplicação deste teorema:
viewtopic.php?f=3&t=105915&p=291334#p291334

[geobson]

Mais um problema cuja solução requer conhecimento prévio deste belo teorema.
viewtopic.php?f=3&t=106227