Pré-Vestibular ⇒ UDESC - Geometria Plana Tópico resolvido

[Gabrielamed]

Os pontos A, B, C, D, E e F dividem uma circunferência em seis partes iguais, de tal modo que AD é um diâmetro dessa circunferência com medida de 12 cm, conforme mostra a Figura 1.

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Com base na Figura 1, a área da região sombreada, em cm², é de:

a)40[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

b)72[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

c)36[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

d)54[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

e)48[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

Resposta

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letra e

[Gabrielamed]

Vi essa resolução em outro fórum, mas não entendi muito bem a resolução

[petrasMOD]

Gabrielamed,

Vamos utilizar a parte superior da circunferência já que a parte inferior é simétrica

Como está dividido e, 6 partes iguais cada arco tem 60⁰ e os triângulos AFO,FOE, OED são equiláteros formados são equiláteros

[tex3]\underline{\color{red}S = 2(S_{AFED} - S_{AFIED})}\\
\angle FDE_{(inscrito)} = \frac{\angle FOE}{2}=\frac{60^o}{2} = 30^o \\
\therefore DF~ é ~bissetriz\\
Analogamente~AE ~é~bissetriz\\
\triangle FOE_({equilátero)}: I =bissetriz = baricentro =ortocentro\\
\therefore GI = \frac{GO}{3}\\
GO =\frac{l\sqrt3}{2}=\frac{6\sqrt3}{2} =3\sqrt3 \therefore GI = \sqrt3\\
S\triangle FIE =\frac{6.\sqrt3}{2}=3\sqrt3 \\
S_{AFED} =\frac{12+6}{2}.3\sqrt3 = 27\sqrt3\\
\therefore S _{AFIED} =27\sqrt3-3\sqrt3 = 24\sqrt3\\
S=2.24\sqrt3=\boxed{48\sqrt3} [/tex3]