IME / ITA ⇒ (IME - 1980) Geometria Tópico resolvido

[Tiagolf]

Sejam [tex3]l_{4} , l_{6} , l_{10}[/tex3] os lados do quadrado, do hexágono, e do decágono regulares, inscritos todos no mesmo círculo. Com esses três lados, constrói-se um triângulo [tex3]ABC[/tex3], não inscrito nesse círculo, tal que [tex3]BC = l_{4} [/tex3], [tex3] AC = l_{6}[/tex3] e [tex3] AB = l_{10}[/tex3]. Pede-se calcular o ângulo A do triângulo [tex3]ABC[/tex3].

gabarito:

Resposta

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120°

Alguém tem a resolução desta questão?

[petrasMOD]

Tiagolf,

Utilizando os lados em função do raio da circunferência teremos
Utilizando r=1
[tex3]l_4 = r\sqrt2\\
l_6 = r\\
l_{10}^* = r.\frac{\sqrt5-1}{2}\\
T.cossenos:
(\sqrt2)^2=1^2+(\frac{1}{2}(\sqrt5-1))^2-2.(1).\frac{1}{2}(\sqrt5-1).cos \theta\\
2 =1+ \frac{1}{\cancelto{2}{4}}(\cancelto{3}{6}-\cancel2\sqrt5)-(\sqrt5-1)cos\theta \implies 2 = 3-\sqrt5-2(\sqrt5-1)cos\theta\\
-1+\sqrt5=-2(\sqrt5-1)cos\theta \implies cos \theta=\frac{(\sqrt5-1)}{-2(\sqrt5-1)} =-\frac{1}{2} \\
\therefore \boxed{\theta =120^o} [/tex3]

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