Ensino Médio ⇒ Análise Combinatória: Combinações Simples e Comissões

[Futuro Engenheiro]

Em uma escola há 6 professores de port. e 4 de mat. Deseja-se formar uma comissão por 5 professores escolhidos entre os 10 acima, de tal forma que em cada comissão tenha pelo menos um professor de cada disciplina. Quantas comissões podem ser formadas?

[Thales Gheós]

Em uma escola há 6 professores de port. e 4 de mat. Deseja-se formar uma comissão por 5 professores escolhidos entre os 10 acima, de tal forma que em cada comissão tenha pelo menos um professor de cada disciplina. Quantas comissões podem ser formadas?

Cada comissão:

P M _ _ _ um prof. de Português, um de Matemática e outros 3 quaisquer

podemos formar 24 pares PM e os outros 8 são combinados 3 a 3:

[tex3]N=24.C_8{^3}[/tex3] => [tex3]N=24\cdot\left(\frac{8\cdot 7\cdot 6}{1\cdot 2\cdot 3}\right)[/tex3] => [tex3]N=1344[/tex3]

[Futuro Engenheiro]

Hum, a sua resposta está uma pouco acima da correta que é 246 comissões.

Também me enbananei todo nela na hora de resolver. Nao sabia se era combinação ou arranjo, já que a ordem de comissões não importa, mas como ele quer distinta... Tenta resolver aí de novo.

Só resolve por Combinção creio eu e depois divide pelo número de combinações q se repetem? Imagino q seja por aí.

Abraço!!

[Thales Gheós]

Alô amigo "Futuro Engenheiro",

Pensando de outra maneira as comissões podem ser:

P M P P P ---> [tex3]C_6^{4}.C_4^{1}=60[/tex3]

P M M M M --> [tex3]C_4^{4}.6=6[/tex3]

P M P P M ---> [tex3]C_6^{3}.C_4^{2}=120[/tex3]

P M P M M --> [tex3]C_6^{2}.C_4^{3}=60[/tex3]

cuja soma = [tex3]246[/tex3]

Outro modo de ver:

Valem todas as combinações menos P P P P P: [tex3]C_{10}^{5}-C_6^{5}=252-6=246[/tex3]

PS: o pior é que não consigo ver o furo do primeiro raciocínio... dá prá dar uma mão Caju?

[Futuro Engenheiro]

De certa forma vc chegou a resposta mas ainda nao me convenci pelo 24 multiplicando a ultima combinação.

Quanto ao caju, pelo que percebi, ele só responde lá no ITA/IME.

[Thales Gheós]

De certa forma vc chegou a resposta mas ainda nao me convenci pelo 24 multiplicando a ultima combinação.

de "certa forma", não. Acho que resolvi mesmo. Aquele "24" tava lá de gaiato, por engano, já retirei. Quanto ao prof. Caju, ele é o webmaster do fórum e em geral é muito presente. Suas explicações são muito boas sempre.

abraço

[Futuro Engenheiro]

Exato, entendi seu raciocinio e também consegui resolver certinho.

Vejo ele responder mais lá, e quis fazer uma brincadeira. Mas sei sim que está sempre presente quando necessário.

Abraço e Obrigado.

[jacobi]

Em uma escola há 6 professores de port. e 4 de mat. Deseja-se formar uma comissão por 5 professores escolhidos entre os 10 acima, de tal forma que em cada comissão tenha pelo menos um professor de cada disciplina. Quantas comissões podem ser formadas?

Total de agrupamentos --> (10.9.8.7.6)/(5.4.3.2.1) = 252
Agrupamentos apenas com professores de matemática --> (6.5.4.3.2)/(5.4.3.2.1) = 6
Logo, 252 - 6 = 246