Ensino Superior ⇒ Função de várias variáveis - Continuidade e limite Tópico resolvido

[narrog09]

Calcule caso existir ou prove que não existe,

lim(x,y)[tex3]\rightarrow [/tex3](0,0)[tex3]\frac{x^{2}+sin^{2}y}{x^2+y^2}[/tex3]

Sei que essa função existe e que o resultado é 1, porém não consegui provar. A dica que me deram foi de usar coordenadas polares, mas acabei me enrolando na hora de substituir aquele y que multiplica o seno, realmente não sei o que fazer ali para ajeitar essa numerada.

Obrigado desde já

[FelipeMartinMOD]

Vamos pelo teorema do confronto, pra isso, acho que você só precisa ter o seguinte resultado de cálculo 1:

[tex3]x \geq 0 \implies \sen(x) \leq x[/tex3]

prova: quando [tex3]x=0[/tex3], temos [tex3]\sen(x) = \sen (0) = 0[/tex3]
se [tex3]0<x<1[/tex3], temos que a função [tex3]f(t) = \sen (t)[/tex3] é contínua e diferenciável em todo o domínio, em particular no intervalo [tex3][0,x][/tex3]. Pelo teorema do valor médio, temos que existe [tex3]0<c<x[/tex3]:

[tex3]\cos (c) = \frac{\sen(x)}{x} \implies -1 \leq \frac{\sen(x)}x \leq 1 [/tex3], como [tex3]0<x[/tex3], podemos multiplicar tudo por [tex3]x[/tex3]:

[tex3]\sen(x) \leq x[/tex3].
Se [tex3]x>1[/tex3], temos que [tex3]\sen (x) \leq 1 <x[/tex3].
Óbvio que esse resultado implica que [tex3] \forall x \in \mathbb R, |\sen(x)| \leq |x| \implies |\sen^2(x)| \leq x^2 \iff \sen^2(x) \leq x^2[/tex3].

Então, [tex3]\frac{x^2+\sen^2(y)}{x^2+y^2} \leq \frac{x^2+y^2}{x^2+y^2} =1[/tex3]

e [tex3]\frac{x^2+\sen^2(y)}{x^2+y^2} = \frac{x^2+y^2-y^2+\sen^2(y)}{x^2+y^2} = 1 - \frac{(y^2-\sen^2(y))}{x^2+y^2} \geq 1 - \frac{(y^2-\sen^2(y))}{y^2} = \frac{\sen^2(y)}{y^2}[/tex3]

então, acabou:

[tex3] \frac{\sen^2(y)}{y^2} \leq \frac{x^2+\sen^2(y)}{x^2+y^2} \leq 1[/tex3]
pelo teorema do confronto:
[tex3]\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\sen^2(y)}{y^2} \leq \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2+\sen^2(y)}{x^2+y^2} \leq \lim_{(x,y) \to (0,0)}1[/tex3]
[tex3]1 = \lim_{y \to 0} \frac{\sen^2(y)}{y^2} \leq \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2+\sen^2(y)}{x^2+y^2} \leq 1 \implies \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2+\sen^2(y)}{x^2+y^2} = 1[/tex3]