Pré-Vestibular ⇒ (UNIMONTES - 2020) Geometria Espacial - Cilindros Tópico resolvido

[Wendel001]

Um recipiente no formato de um cilindro circular reto está inicialmente cheio d’água e apoiado sobre uma superfície plana e horizontal. Entretanto, o recipiente foi inclinado lentamente até que o plano de sua base fizesse [tex3]45^\circ[/tex3] com o plano horizontal.
Se o raio e a altura do recipiente medem [tex3]6\ m[/tex3] e [tex3]8\ m[/tex3], respectivamente, então, a porcentagem do volume de água que permanecerá no recipiente, em relação ao volume inicial, é igual a

a) [tex3]20\%[/tex3].
b) [tex3]25\%[/tex3].
c) [tex3]50\%[/tex3].
d) [tex3]75\%[/tex3].

Resposta

---

b) 25%.

[petrasMOD]

Wendel001,

fig2.jpg (10.93 KiB) Exibido 1116 vezes

O triângulo [tex3]ABC[/tex3] é retângulo e isósceles: [tex3]AB = BC = 2R = 2.6 = 12\ cm[/tex3]

O volume de água derramado é a metade do volume do cilindro de diâmetro [tex3]AB[/tex3] e altura [tex3]BC[/tex3].

[tex3]V_{(derramado)} =π . R^2 . h = \pi.6^2.6 = 216\pi\\
V_{(inicial)}=\pi R^2.h = \pi .6^2.8=288\pi\\
V_{(permanecido)}\therefore \frac{288\pi-216\pi}{216\pi}=\frac{72}{288}=0,25 = 25\%[/tex3]

[Wendel001]

Entendi! Mas como BC (12) pode ser maior que a própria altura do cilindro (8)?

[petrasMOD]

Wendel001,

Você tem razaõ ..nem tinha me atentado...vou tentar outra forma

[petrasMOD]

Wendel001,

Creio que que quem fez o enuciados se enganou,,Verifiquei com algusn colegas e da forma como está não se chega ao resultado e seria necessário utilizar integral o que não seria escopo da questão.

[petrasMOD]

Wendel001,

Segue uma solução encontrada

Com raio r=6 -- portanto diâmetro d=12 -- e altura h=8 o cilindro tem volume V.

Com inclinação de 45º o fundo fica parcialmente à mostra (descoberto de água) e complica a solução.

Vamos emprestar mais 4 m para a altura; assim ficamos com altura h'=d=12. Nestas condições, com cilindro cheio, ficamos com um volume de água
V' = V + V/2 = (3/2).V

Agora que a altura e diâmetro têm mesma medida, inclinar em 45º deixa o fundo completamente coberto pela água o que, evidentemente, escoa metade da água e portanto o volume de água remanescente é a outra metade
Vreman = (1/2).V' = (1/2)(3/2).V = (3/4).V

Porém para termos o volume de água real do nosso cilindro original devemos descontar aquele meio volume que foi emprestado.
Vreal = Vreman - V/2 = (3/4 - 1/2).V = (1/4).V
.:. Vreal = 25% V
(Solução:Medeiros)